Номер 4, страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 2. Квадратичная функция - номер 4, страница 137.

4 Как расположена в координатной плоскости парабола $y = ax^2$ при $a > 0?$ при $a < 0?$

при $a > 0$
Парабола, заданная уравнением $y = ax^2$, является графиком квадратичной функции. Рассмотрим ее свойства при положительном коэффициенте $a$.
1. Вершина параболы. Координаты вершины параболы находятся в точке, где функция принимает свое минимальное или максимальное значение. Для функции $y = ax^2$, если подставить $x=0$, мы получим $y = a \cdot 0^2 = 0$. Таким образом, вершина параболы всегда находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
2. Направление ветвей. Выражение $x^2$ всегда является неотрицательным для любого действительного значения $x$ (то есть, $x^2 \ge 0$). Поскольку по условию коэффициент $a$ является положительным числом ($a > 0$), то произведение $a \cdot x^2$ также будет неотрицательным: $y = ax^2 \ge 0$. Это означает, что все точки параболы, за исключением вершины, находятся выше или на оси абсцисс (Ox). Следовательно, ветви параболы направлены вверх.
3. Расположение в координатной плоскости. Так как вершина параболы находится в начале координат $(0, 0)$, а ее ветви направлены вверх, то весь график (кроме точки вершины) лежит в верхней полуплоскости. Функция является четной ($y(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = y(x)$), поэтому парабола симметрична относительно оси ординат (Oy). Она располагается в I и II координатных четвертях.

Ответ: при $a > 0$ вершина параболы $y=ax^2$ находится в начале координат, ее ветви направлены вверх, и график расположен в I и II координатных четвертях.

при $a < 0$
Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент $a$ является отрицательным.
1. Вершина параболы. Как и в предыдущем случае, при $x=0$ значение функции $y = a \cdot 0^2 = 0$. Вершина параболы по-прежнему находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
2. Направление ветвей. Квадрат любого числа $x$ неотрицателен ($x^2 \ge 0$). По условию коэффициент $a$ является отрицательным числом ($a < 0$). При умножении неотрицательного значения ($x^2$) на отрицательное ($a$), результат всегда будет неположительным: $y = ax^2 \le 0$. Это означает, что все точки параболы, кроме вершины, находятся ниже или на оси абсцисс (Ox). Следовательно, ветви параболы направлены вниз.
3. Расположение в координатной плоскости. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, а ее ветви направлены вниз. Это значит, что весь график (кроме точки вершины) лежит в нижней полуплоскости. Функция также остается четной и симметричной относительно оси ординат (Oy). Парабола располагается в III и IV координатных четвертях.

Ответ: при $a < 0$ вершина параболы $y=ax^2$ находится в начале координат, ее ветви направлены вниз, и график расположен в III и IV координатных четвертях.