Номер 5, страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 2. Квадратичная функция - номер 5, страница 137.

5 Постройте график функции $y = ax^2$:

а) при $a = -\frac{1}{2}$;

б) при $a = -2$.

Опишите в каждом случае свойства функции.

а) при $a=\frac{1}{2}$

При $a=\frac{1}{2}$ функция имеет вид $y = \frac{1}{2}x^2$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Так как коэффициент $a = \frac{1}{2}$ положителен ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих параболе. Составим таблицу значений:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y$	4,5	2	0,5	0	0,5	2	4,5

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой, чтобы получить график параболы.

Свойства функции $y = \frac{1}{2}x^2$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, то есть $x$ может быть любым действительным числом.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$, так как $x^2 \ge 0$.
• Четность: функция является четной, поскольку $y(-x) = \frac{1}{2}(-x)^2 = \frac{1}{2}x^2 = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
• Нули функции: $y = 0$ только при $x = 0$. График пересекает оси координат в единственной точке $(0, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y > 0$) при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = 0$. Максимального значения не существует.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{1}{2}x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Свойства функции перечислены выше.

---

б) при $a = -2$

При $a=-2$ функция имеет вид $y = -2x^2$.

Это также квадратичная функция, ее график — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$. Так как коэффициент $a = -2$ отрицателен ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Составим таблицу значений для построения графика:

$x$	-2	-1	-0,5	0	0,5	1	2
$y$	-8	-2	-0,5	0	-0,5	-2	-8

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой.

Свойства функции $y = -2x^2$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = -2(-x)^2 = -2x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
• Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$. График проходит через начало координат.
• Промежутки знакопостоянства: функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего максимума, $y_{max} = 0$. Минимального значения не существует.

Ответ: Графиком функции $y = -2x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз. Свойства функции перечислены выше.