Номер 3, страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 2. Квадратичная функция - номер 3, страница 137.

3 Охарактеризуйте параболу с номером 4, изображённую на рисунке 2.2 (см. с. 75):

а) Парабола является графиком функции $y = ...$.

б) Осью симметрии параболы является прямая ... .

в) Вершина параболы имеет координаты $x = ...$, $y = ...$.

г) Функция $y = ...$ принимает наибольшее значение при $x = ...$, наибольшее значение функции равно ... .

д) Парабола пересекает ось $x$ в точках ... .

е) Парабола пересекает ось $y$ в точке ... .

Поскольку изображение графика параболы №4 отсутствует, мы решим задачу, предположив её наиболее вероятные характеристики, исходя из поставленных вопросов. Вопросы подразумевают, что парабола имеет наибольшее значение, а значит её ветви направлены вниз. Выберем для примера конкретную функцию, удовлетворяющую этому условию, и на её основе дадим ответы на все пункты.

Пусть вершина параболы находится в точке $(2, 4)$, а старший коэффициент равен $-1$. Тогда уравнение параболы в вершинной форме будет $y = -(x-2)^2 + 4$. Приведём его к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$:

$y = -(x^2 - 4x + 4) + 4 = -x^2 + 4x - 4 + 4 = -x^2 + 4x$.

Теперь охарактеризуем эту параболу $y = -x^2 + 4x$ по пунктам.

а) Парабола является графиком функции y = ...

Как мы определили выше, для нашего примера парабола является графиком квадратичной функции $y = -x^2 + 4x$.
Ответ: $y = -x^2 + 4x$.

б) Осью симметрии параболы является прямая ...

Ось симметрии параболы проходит вертикально через её вершину. Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_в = - \frac{b}{2a}$. Для функции $y = -x^2 + 4x$ имеем $a=-1, b=4$.

$x_в = - \frac{4}{2(-1)} = - \frac{4}{-2} = 2$.

Следовательно, осью симметрии является прямая $x=2$.
Ответ: $x = 2$.

в) Вершина параболы имеет координаты x = ..., y = ...

Мы уже нашли абсциссу вершины $x_в = 2$. Теперь найдем ординату, подставив это значение в уравнение функции:

$y_в = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$.

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(2, 4)$.
Ответ: $x = 2, y = 4$.

г) Функция y = ... принимает наибольшее значение при x = ..., наибольшее значение функции равно ...

Так как ветви параболы направлены вниз (коэффициент $a = -1 < 0$), своего наибольшего значения функция достигает в вершине. Из предыдущего пункта мы знаем, что вершина имеет координаты $(2, 4)$.

Это означает, что наибольшее значение функции равно $4$ и достигается оно при $x=2$.
Ответ: Функция $y = -x^2 + 4x$ принимает наибольшее значение при $x = 2$, наибольшее значение функции равно $4$.

д) Парабола пересекает ось x в точках ...

Точки пересечения с осью $x$ (осью абсцисс) имеют ординату $y=0$. Чтобы их найти, решим уравнение:

$-x^2 + 4x = 0$

$x(-x + 4) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Следовательно, парабола пересекает ось $x$ в точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$.
Ответ: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

е) Парабола пересекает ось y в точке ...

Точка пересечения с осью $y$ (осью ординат) имеет абсциссу $x=0$. Найдем её ординату:

$y = -(0)^2 + 4(0) = 0$.

Следовательно, парабола пересекает ось $y$ в точке $(0, 0)$.
Ответ: $(0, 0)$.