Номер 338, страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 2. Неравенства и системы неравенств. Глава 2. Квадратичная функция - номер 338, страница 136.

338 a) Найдите все значения коэффициента b, при которых квадратный трёхчлен $2x^2 + bx + 8$ принимает только положительные значения. Запишите пример такого квадратного трёхчлена.

б) Найдите все значения коэффициента c, при которых квадратный трёхчлен $cx^2 - 3x + 25c$ принимает только отрицательные значения. Запишите пример такого квадратного трёхчлёна.

а)

Квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ принимает только положительные значения, если его график (парабола) полностью расположен выше оси абсцисс. Это происходит при выполнении двух условий:

1. Старший коэффициент должен быть положительным (ветви параболы направлены вверх): $a > 0$.
2. Дискриминант должен быть отрицательным (парабола не пересекает ось абсцисс): $D < 0$.

Рассмотрим трёхчлен $2x^2 + bx + 8$.

1. Старший коэффициент $a=2$. Условие $a > 0$ выполняется, так как $2 > 0$.

2. Найдём дискриминант $D$ и потребуем, чтобы он был отрицательным.

В нашем случае коэффициенты: $a=2$, второй коэффициент равен $b$, свободный член $c=8$.

$D = b^2 - 4ac = b^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = b^2 - 64$.

Решим неравенство $D < 0$:

$b^2 - 64 < 0$

$b^2 < 64$

Это неравенство выполняется, когда $-8 < b < 8$.

Таким образом, трёхчлен принимает только положительные значения при $b \in (-8, 8)$.

Запишем пример такого трёхчлена. Выберем любое значение $b$ из интервала $(-8, 8)$. Например, пусть $b=5$.

Пример: $2x^2 + 5x + 8$.

Ответ: $b \in (-8, 8)$. Пример: $2x^2 + 5x + 8$.

б)

Квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ принимает только отрицательные значения, если его график (парабола) полностью расположен ниже оси абсцисс. Это происходит при выполнении двух условий:

1. Старший коэффициент должен быть отрицательным (ветви параболы направлены вниз): $a < 0$.
2. Дискриминант должен быть отрицательным (парабола не пересекает ось абсцисс): $D < 0$.

Рассмотрим трёхчлен $cx^2 - 3x + 25c$.

В нашем случае коэффициенты: старший коэффициент равен $c$, второй коэффициент равен $-3$, свободный член равен $25c$.

Должна выполняться система неравенств:

$\begin{cases} c < 0 \\ D < 0 \end{cases}$

Найдём дискриминант $D$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot c \cdot (25c) = 9 - 100c^2$.

Решим неравенство $D < 0$:

$9 - 100c^2 < 0$

$9 < 100c^2$

$c^2 > \frac{9}{100}$

Это неравенство выполняется, когда $c < -\sqrt{\frac{9}{100}}$ или $c > \sqrt{\frac{9}{100}}$.

То есть, $c < -\frac{3}{10}$ или $c > \frac{3}{10}$.

Теперь объединим это решение с первым условием системы, $c < 0$.

Нам нужно найти пересечение множеств $c \in (-\infty, -3/10) \cup (3/10, +\infty)$ и $c \in (-\infty, 0)$.

Пересечением является интервал $c < -3/10$.

Таким образом, трёхчлен принимает только отрицательные значения при $c \in (-\infty, -3/10)$.

Запишем пример такого трёхчлена. Выберем любое значение $c$ из интервала $(-\infty, -3/10)$. Например, пусть $c=-1$.

Подставим $c=-1$ в исходный трёхчлен:

$(-1)x^2 - 3x + 25(-1) = -x^2 - 3x - 25$.

Ответ: $c \in (-\infty, -3/10)$. Пример: $-x^2 - 3x - 25$.