Номер 333, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 2. Функции и графики. Глава 2. Квадратичная функция - номер 333, страница 135.

333 a) Найдите значение коэффициента c, при котором график функции $y = \frac{1}{3}x^2 + c$ проходит через точку A(-6; 10). Определите, принимает ли эта функция значение, равное 20; -20.

б) Известно, что вершина параболы находится в точке (0; 4) и она пересекает ось x в точке (-4; 0). Запишите уравнение этой параболы. Определите координаты точек, в которых она пересекает прямую $y = -21$.

а) Чтобы найти значение коэффициента $c$ для функции $y = \frac{1}{3}x^2 + c$, подставим в уравнение координаты точки A(-6; 10), через которую проходит ее график:
$10 = \frac{1}{3}(-6)^2 + c$
$10 = \frac{1}{3} \cdot 36 + c$
$10 = 12 + c$
$c = 10 - 12 = -2$
Таким образом, уравнение функции имеет вид: $y = \frac{1}{3}x^2 - 2$.

Теперь определим, принимает ли эта функция значения, равные 20 и -20. Для этого проверим, существуют ли действительные значения $x$ для каждого из этих случаев.

1. Проверим, может ли $y$ быть равным 20:
$\frac{1}{3}x^2 - 2 = 20$
$\frac{1}{3}x^2 = 22$
$x^2 = 66$
$x = \pm\sqrt{66}$
Так как уравнение имеет действительные корни, функция принимает значение 20.

2. Проверим, может ли $y$ быть равным -20:
$\frac{1}{3}x^2 - 2 = -20$
$\frac{1}{3}x^2 = -18$
$x^2 = -54$
Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, функция не принимает значение -20.
Ответ: $c = -2$; функция принимает значение 20, но не принимает значение -20.

б) Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(x_v, y_v)$ имеет вид $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.
По условию, вершина параболы находится в точке (0; 4). Подставляем эти значения в уравнение:
$y = a(x - 0)^2 + 4$
$y = ax^2 + 4$
Известно, что парабола пересекает ось $x$ в точке (-4; 0). Подставим координаты этой точки в полученное уравнение, чтобы найти коэффициент $a$:
$0 = a(-4)^2 + 4$
$0 = 16a + 4$
$16a = -4$
$a = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$
Следовательно, уравнение этой параболы: $y = -\frac{1}{4}x^2 + 4$.

Теперь определим координаты точек, в которых эта парабола пересекает прямую $y = -21$. Для этого приравняем правые части уравнений параболы и прямой:
$-\frac{1}{4}x^2 + 4 = -21$
$-\frac{1}{4}x^2 = -21 - 4$
$-\frac{1}{4}x^2 = -25$
Умножим обе части уравнения на -4:
$x^2 = 100$
$x = \pm\sqrt{100}$
$x_1 = 10$, $x_2 = -10$
Координата $y$ в точках пересечения равна -21. Таким образом, получаем две точки пересечения: (10; -21) и (-10; -21).
Ответ: уравнение параболы $y = -\frac{1}{4}x^2 + 4$; координаты точек пересечения (10; -21) и (-10; -21).