Номер 329, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 2. Функции и графики. Глава 2. Квадратичная функция - номер 329, страница 134.

329 a) Постройте график функции $y = 2x^2 - 12x + 11$. По графику определите, какие значения принимает функция, если $0 \le x \le 4$.

б) Постройте график функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$. По графику определите, какие значения принимает функция, если $-2 \le x \le 4$.

a)

1. Построим график функции $y = 2x^2 - 12x + 11$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $2$, он положительный, значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.

$y_v = y(x_v) = 2(3)^2 - 12(3) + 11 = 2 \cdot 9 - 36 + 11 = 18 - 36 + 11 = -7$.

Вершина параболы находится в точке $(3, -7)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=3$.

Для построения графика найдем еще несколько точек. Возьмем значения $x$ симметрично относительно оси симметрии $x=3$.

• При $x = 2$: $y(2) = 2(2)^2 - 12(2) + 11 = 8 - 24 + 11 = -5$. Точка $(2, -5)$.
• При $x = 4$ (симметрично $x=2$): $y(4) = 2(4)^2 - 12(4) + 11 = 32 - 48 + 11 = -5$. Точка $(4, -5)$.
• При $x = 1$: $y(1) = 2(1)^2 - 12(1) + 11 = 2 - 12 + 11 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• При $x = 0$ (пересечение с осью OY): $y(0) = 2(0)^2 - 12(0) + 11 = 11$. Точка $(0, 11)$.

Отметив на координатной плоскости вершину $(3, -7)$ и найденные точки, соединяем их плавной линией и получаем параболу.

2. Определим по графику, какие значения принимает функция, если $0 \le x \le 4$.

Рассмотрим часть графика, которая соответствует отрезку $[0, 4]$ по оси абсцисс. Вершина параболы с координатой $x_v = 3$ находится внутри этого отрезка. Так как ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в вершине.

$y_{min} = y(3) = -7$.

Наибольшее значение ищем на концах отрезка. Найдем значения функции при $x=0$ и $x=4$:

$y(0) = 11$.

$y(4) = -5$.

Сравнивая эти значения ($11$ и $-5$), видим, что наибольшее значение равно $11$.

Таким образом, на отрезке $0 \le x \le 4$ функция принимает все значения от $-7$ до $11$ включительно.

Ответ: $y \in [-7, 11]$.

б)

1. Построим график функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{2}$, он отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{2}{-1} = 2$.

$y_v = y(x_v) = -\frac{1}{2}(2)^2 + 2(2) + 1 = -\frac{1}{2} \cdot 4 + 4 + 1 = -2 + 4 + 1 = 3$.

Вершина параболы находится в точке $(2, 3)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$.

Для построения графика найдем еще несколько точек. Возьмем значения $x$ симметрично относительно оси симметрии $x=2$.

• При $x = 0$ (пересечение с осью OY): $y(0) = -\frac{1}{2}(0)^2 + 2(0) + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• При $x = 4$ (симметрично $x=0$): $y(4) = -\frac{1}{2}(4)^2 + 2(4) + 1 = -8 + 8 + 1 = 1$. Точка $(4, 1)$.
• При $x = -2$: $y(-2) = -\frac{1}{2}(-2)^2 + 2(-2) + 1 = -2 - 4 + 1 = -5$. Точка $(-2, -5)$.

Отметив на координатной плоскости вершину $(2, 3)$ и найденные точки, соединяем их плавной линией и получаем параболу.

2. Определим по графику, какие значения принимает функция, если $-2 \le x \le 4$.

Рассмотрим часть графика, которая соответствует отрезку $[-2, 4]$ по оси абсцисс. Вершина параболы с координатой $x_v = 2$ находится внутри этого отрезка. Так как ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции на этом отрезке достигается в вершине.

$y_{max} = y(2) = 3$.

Наименьшее значение ищем на концах отрезка. Найдем значения функции при $x=-2$ и $x=4$:

$y(-2) = -5$.

$y(4) = 1$.

Сравнивая эти значения ($-5$ и $1$), видим, что наименьшее значение равно $-5$.

Таким образом, на отрезке $-2 \le x \le 4$ функция принимает все значения от $-5$ до $3$ включительно.

Ответ: $y \in [-5, 3]$.