Номер 335, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 2. Неравенства и системы неравенств. Глава 2. Квадратичная функция - номер 335, страница 135.

335 Найдите целые решения неравенства:

а) $\frac{2x^2}{3} < \frac{2x+3}{4};$

б) $\frac{4x+2}{3} > \frac{5x^2}{6};$

в) $(x + 2\sqrt{3})(x + 3\sqrt{2}) < 0;$

г) $(x + 1 - \sqrt{5})(x + 1 - \sqrt{6}) \le 0.$

а)

Исходное неравенство: $\frac{2x^2}{3} < \frac{2x+3}{4}$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:

$12 \cdot \frac{2x^2}{3} < 12 \cdot \frac{2x+3}{4}$

$4 \cdot 2x^2 < 3(2x+3)$

$8x^2 < 6x + 9$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$8x^2 - 6x - 9 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $8x^2 - 6x - 9 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 36 + 288 = 324 = 18^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 18}{16}$

$x_1 = \frac{6 - 18}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4} = -0.75$

$x_2 = \frac{6 + 18}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1.5$

Так как коэффициент при $x^2$ (равный 8) положителен, ветви параболы $y = 8x^2 - 6x - 9$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $8x^2 - 6x - 9 < 0$ выполняется между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-\frac{3}{4}; \frac{3}{2})$, или $(-0.75; 1.5)$.

Целые числа, принадлежащие этому интервалу: 0, 1.

Ответ: 0, 1.

б)

Исходное неравенство: $\frac{4x+2}{3} > \frac{5x^2}{6}$.

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, то есть на 6:

$6 \cdot \frac{4x+2}{3} > 6 \cdot \frac{5x^2}{6}$

$2(4x+2) > 5x^2$

$8x+4 > 5x^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$5x^2 - 8x - 4 < 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 8x - 4 = 0$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144 = 12^2$

$x_{1,2} = \frac{8 \pm 12}{2 \cdot 5} = \frac{8 \pm 12}{10}$

$x_1 = \frac{8 - 12}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5} = -0.4$

$x_2 = \frac{8 + 12}{10} = \frac{20}{10} = 2$

Ветви параболы $y = 5x^2 - 8x - 4$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Решением является интервал $(-\frac{2}{5}; 2)$, или $(-0.4; 2)$.

Целые числа в этом интервале: 0, 1.

Ответ: 0, 1.

в)

Исходное неравенство: $(x + 2\sqrt{3})(x + 3\sqrt{2}) < 0$.

Это квадратное неравенство, левая часть которого представляет собой параболу с ветвями вверх. Неравенство выполняется между корнями уравнения $(x + 2\sqrt{3})(x + 3\sqrt{2}) = 0$.

Найдем корни:

$x_1 = -2\sqrt{3}$

$x_2 = -3\sqrt{2}$

Сравним корни. Для этого сравним их квадраты с отрицательным знаком:

$(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

$(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Так как $18 > 12$, то $\sqrt{18} > \sqrt{12}$, и, следовательно, $- \sqrt{18} < - \sqrt{12}$. Значит, $-3\sqrt{2} < -2\sqrt{3}$.

Решением неравенства является интервал $(-3\sqrt{2}; -2\sqrt{3})$.

Оценим значения корней:

$\sqrt{2} \approx 1.414 \Rightarrow -3\sqrt{2} \approx -3 \cdot 1.414 = -4.242$

$\sqrt{3} \approx 1.732 \Rightarrow -2\sqrt{3} \approx -2 \cdot 1.732 = -3.464$

Таким образом, мы ищем целые числа в интервале $(-4.242; -3.464)$.

Единственное целое число, которое удовлетворяет этому условию, это -4.

Ответ: -4.

г)

Исходное неравенство: $(x + 1 - \sqrt{5})(x + 1 - \sqrt{6}) \le 0$.

Аналогично предыдущему пункту, это парабола с ветвями вверх. Решение находится между корнями включительно.

Найдем корни уравнения $(x + 1 - \sqrt{5})(x + 1 - \sqrt{6}) = 0$:

$x + 1 - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_1 = \sqrt{5} - 1$

$x + 1 - \sqrt{6} = 0 \Rightarrow x_2 = \sqrt{6} - 1$

Сравним корни. Так как $\sqrt{6} > \sqrt{5}$, то $\sqrt{6} - 1 > \sqrt{5} - 1$.

Решением неравенства является отрезок $[\sqrt{5} - 1; \sqrt{6} - 1]$.

Оценим значения границ отрезка:

$2^2 = 4$, $3^2=9$, поэтому $2 < \sqrt{5} < 3$ и $2 < \sqrt{6} < 3$.

Более точно: $\sqrt{5} \approx 2.236$, $\sqrt{6} \approx 2.449$.

$x_1 = \sqrt{5} - 1 \approx 2.236 - 1 = 1.236$

$x_2 = \sqrt{6} - 1 \approx 2.449 - 1 = 1.449$

Мы ищем целые числа в отрезке $[\sqrt{5} - 1; \sqrt{6} - 1] \approx [1.236; 1.449]$.

В этом отрезке нет целых чисел.

Ответ: нет целых решений.