Номер 330, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 2. Функции и графики. Глава 2. Квадратичная функция - номер 330, страница 134.

330 Постройте график функции и укажите промежутки возрастания и убывания функции:

а) $y = \begin{cases} \frac{4}{x}, \text{ если } x \ge 2 \\ \frac{1}{2}x^2, \text{ если } x < 2; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -x^2+1, \text{ если } x \ge -2 \\ \frac{6}{x}, \text{ если } x < -2. \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} \frac{4}{x}, & \text{если } x \ge 2 \\ \frac{1}{2}x^2, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции необходимо рассмотреть её на двух промежутках.

1. На промежутке $x < 2$ функция задана формулой $y = \frac{1}{2}x^2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Для построения этой части графика найдем несколько точек:

   • Вершина: $(0, 0)$.
   • При $x = -2$, $y = \frac{1}{2}(-2)^2 = 2$. Точка $(-2, 2)$.
   • На границе промежутка, в точке $x=2$, найдем предел слева: $y = \frac{1}{2}(2)^2 = 2$. Точка $(2, 2)$ не принадлежит этой части графика, поэтому на графике она будет отмечена как "выколотая".

   На этом участке функция убывает при $x \in (-\infty, 0]$ и возрастает при $x \in [0, 2)$.

2. На промежутке $x \ge 2$ функция задана формулой $y = \frac{4}{x}$. Графиком этой функции является ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Найдем несколько точек:

   • На границе промежутка, в точке $x=2$, значение функции равно $y = \frac{4}{2} = 2$. Точка $(2, 2)$ принадлежит графику.
   • При $x = 4$, $y = \frac{4}{4} = 1$. Точка $(4, 1)$.

   Функция $y=\frac{k}{x}$ при $k > 0$ убывает на всей области определения. Следовательно, на промежутке $[2, +\infty)$ данная функция убывает.

Объединим обе части на одном графике. Поскольку в точке $x=2$ левый предел ($y=2$) равен значению функции ($y=2$), функция является непрерывной. Точка $(2, 2)$ является точкой локального максимума.

Итоговые промежутки возрастания и убывания:

• Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• Функция возрастает на промежутке $[0, 2]$.
• Функция убывает на промежутке $[2, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 2]$, убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$.

---

б) $y = \begin{cases} -x^2+1, & \text{если } x \ge -2 \\ \frac{6}{x}, & \text{если } x < -2 \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции необходимо рассмотреть её на двух промежутках.

1. На промежутке $x < -2$ функция задана формулой $y = \frac{6}{x}$. Графиком этой функции является ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. Найдем несколько точек:

   • На границе промежутка, в точке $x=-2$, найдем предел слева: $y = \frac{6}{-2} = -3$. Точка $(-2, -3)$ будет "выколотой".
   • При $x = -3$, $y = \frac{6}{-3} = -2$. Точка $(-3, -2)$.
   • При $x = -6$, $y = \frac{6}{-6} = -1$. Точка $(-6, -1)$.

   На всем этом промежутке $(-\infty, -2)$ функция убывает.

2. На промежутке $x \ge -2$ функция задана формулой $y = -x^2+1$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 1)$. Найдем несколько точек:

   • На границе промежутка, в точке $x=-2$, значение функции равно $y = -(-2)^2+1 = -4+1 = -3$. Точка $(-2, -3)$ принадлежит графику.
   • Вершина параболы: $(0, 1)$.
   • Пересечение с осью Ox ($y=0$): $-x^2+1=0 \implies x=\pm1$. Обе точки принадлежат рассматриваемому промежутку.

   На этом участке функция возрастает до вершины при $x \in [-2, 0]$ и убывает после вершины при $x \in [0, +\infty)$.

Объединим обе части на одном графике. В точке $x=-2$ левый предел ($y=-3$) равен значению функции ($y=-3$), следовательно, функция непрерывна. Точка $(-2, -3)$ является точкой локального минимума, а точка $(0, 1)$ — точкой локального максимума.

Итоговые промежутки возрастания и убывания:

• Функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$.
• Функция возрастает на промежутке $[-2, 0]$.
• Функция убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2, 0]$, убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$.