Номер 326, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.8. Графики уравнений, содержащих модули. Глава 2. Квадратичная функция - номер 326, страница 134.

326 a) $|y| = |x|;$

б) $|y| \cdot |x| = 1;$

В) $|y| + |x| = 1;$

Г) $|y| - |x| = 1.$

Указание. Рассмотрите уравнение отдельно для каждой координатной четверти.

а)

Рассмотрим уравнение $|y| = |x|$. Для построения графика этого уравнения раскроем модули в каждой из четырёх координатных четвертей, как предложено в указании.

1. Первая четверть: $x \ge 0, y \ge 0$. Уравнение принимает вид $y = x$. Это луч, являющийся биссектрисой первого координатного угла.

2. Вторая четверть: $x < 0, y \ge 0$. Уравнение принимает вид $y = -x$. Это луч, являющийся биссектрисой второго координатного угла.

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $-y = -x$, что равносильно $y = x$. Это луч в третьей четверти, продолжающий луч из первой четверти.

4. Четвёртая четверть: $x \ge 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $-y = x$, что равносильно $y = -x$. Это луч в четвёртой четверти, продолжающий луч из второй четверти.

Объединяя все четыре случая, мы получаем график, состоящий из двух прямых, пересекающихся в начале координат: $y = x$ и $y = -x$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $y = x$ и $y = -x$, которые являются биссектрисами координатных углов.

б)

Рассмотрим уравнение $|y| \cdot |x| = 1$, которое можно записать как $|xy| = 1$. Это означает, что произведение $xy$ может быть равно $1$ или $-1$. Раскроем модули в каждой четверти.

1. Первая четверть: $x > 0, y > 0$. Уравнение принимает вид $xy = 1$, или $y = 1/x$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой четверти.

2. Вторая четверть: $x < 0, y > 0$. Уравнение принимает вид $y(-x) = 1$, или $y = -1/x$. Это ветвь гиперболы во второй четверти.

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $(-y)(-x) = 1$, или $xy = 1$, что равносильно $y = 1/x$. Это ветвь гиперболы в третьей четверти.

4. Четвёртая четверть: $x > 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $(-y)x = 1$, или $y = -1/x$. Это ветвь гиперболы в четвёртой четверти.

В результате получаем график, состоящий из двух гипербол: $y = 1/x$ (ветви в I и III четвертях) и $y = -1/x$ (ветви в II и IV четвертях).

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух гипербол: $y = 1/x$ и $y = -1/x$.

в)

Рассмотрим уравнение $|y| + |x| = 1$. Раскроем модули в каждой координатной четверти.

1. Первая четверть: $x \ge 0, y \ge 0$. Уравнение принимает вид $y + x = 1$, или $y = 1 - x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

2. Вторая четверть: $x < 0, y \ge 0$. Уравнение принимает вид $y - x = 1$, или $y = 1 + x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $-y - x = 1$, или $y = -x - 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

4. Четвёртая четверть: $x \ge 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $-y + x = 1$, или $y = x - 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$.

Объединяя все четыре отрезка, получаем замкнутую фигуру — квадрат с вершинами в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

Ответ: Графиком уравнения является квадрат с вершинами в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

г)

Рассмотрим уравнение $|y| - |x| = 1$, которое можно записать как $|y| = |x| + 1$. Раскроем модули в каждой координатной четверти.

1. Первая четверть: $x \ge 0, y \ge 0$. Уравнение принимает вид $y - x = 1$, или $y = x + 1$. Так как при $x \ge 0$ значение $y = x + 1 \ge 1$, все точки этого луча лежат в первой четверти. Это луч, выходящий из точки $(0, 1)$ вправо-вверх.

2. Вторая четверть: $x < 0, y \ge 0$. Уравнение принимает вид $y - (-x) = 1$, или $y = -x + 1$. Так как при $x < 0$ значение $y = -x + 1 > 1$, все точки этого луча лежат во второй четверти. Это луч, выходящий из точки $(0, 1)$ влево-вверх. Вместе с лучом из первого случая они образуют "уголок" с вершиной в $(0,1)$, открытый вверх.

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $-y - (-x) = 1$, или $y = x - 1$. Так как при $x < 0$ значение $y = x - 1 < -1$, все точки этого луча лежат в третьей четверти. Это луч, являющийся частью прямой $y=x-1$ при $x<0$.

4. Четвёртая четверть: $x \ge 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $-y - x = 1$, или $y = -x - 1$. Так как при $x \ge 0$ значение $y = -x - 1 \le -1$, все точки этого луча лежат в четвертой четверти. Это луч, являющийся частью прямой $y=-x-1$ при $x \ge 0$.

Лучи из третьего и четвертого случаев образуют "уголок" с вершиной в точке $(0, -1)$, открытый вниз.

Ответ: График состоит из двух "уголков": один с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которого ($y = |x|+1$) направлены вверх, и второй с вершиной в точке $(0, -1)$, ветви которого ($y = -|x|-1$) направлены вниз.