Номер 331, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 2. Функции и графики. Глава 2. Квадратичная функция - номер 331, страница 135.

331 Постройте график функции и определите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения:

а) $y = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x > 2 \\ x^2 - 1, & \text{если } |x| \le 2 \\ -\frac{6}{x}, & \text{если } x < -2; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 4 - 2x, & \text{если } x > 1 \\ x^2 + 1, & \text{если } |x| \le 1 \\ 4 + 2x, & \text{если } x < -1. \end{cases}$

а)

Данная функция является кусочно-заданной: $y = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x > 2 \\ x^2 - 1, & \text{если } |x| \le 2 \\ -\frac{6}{x}, & \text{если } x < -2 \end{cases}$

Для построения графика рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $(-\infty, -2)$ график функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. Так как $x < 0$, то $y > 0$ на всем этом промежутке. Найдем значение на границе: при $x \to -2^-$, $y \to -\frac{6}{-2} = 3$. Точка $(-2, 3)$ будет выколотой на этой части графика.
2. На промежутке $[-2, 2]$ (что эквивалентно $|x| \le 2$) график совпадает с графиком функции $y = x^2 - 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, -1)$. Найдем значения на границах: при $x = -2$, $y = (-2)^2 - 1 = 3$. Точка $(-2, 3)$ принадлежит графику. при $x = 2$, $y = 2^2 - 1 = 3$. Точка $(2, 3)$ принадлежит графику. Таким образом, в точках $x=-2$ и $x=2$ график непрерывен. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $y=0$, то есть $x^2-1=0$, откуда $x=1$ и $x=-1$.
3. На промежутке $(2, \infty)$ график функции совпадает с графиком функции $y = \frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Так как $x > 0$, то $y > 0$ на всем этом промежутке. Найдем значение на границе: при $x \to 2^+$, $y \to \frac{6}{2} = 3$. Эта точка совпадает с конечной точкой параболы, подтверждая непрерывность.

Теперь определим промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения.

Положительные значения ($y > 0$):

• На промежутке $x < -2$, функция $y = -\frac{6}{x}$ всегда положительна.
• На промежутке $x > 2$, функция $y = \frac{6}{x}$ всегда положительна.
• На промежутке $[-2, 2]$, решаем неравенство $x^2 - 1 > 0 \implies (x - 1)(x + 1) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. Пересекая с областью определения $[-2, 2]$, получаем $x \in [-2, -1) \cup (1, 2]$.

Объединяя все найденные промежутки, получаем, что $y > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup [-2, -1) \cup (1, 2] \cup (2, \infty)$. Так как функция непрерывна в точках $x=-2$ и $x=2$, мы можем объединить эти интервалы. Итого, функция положительна при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Отрицательные значения ($y < 0$):

• На промежутках $x < -2$ и $x > 2$ функция положительна.
• На промежутке $[-2, 2]$, решаем неравенство $x^2 - 1 < 0 \implies (x - 1)(x + 1) < 0$. Решением является $x \in (-1, 1)$. Этот промежуток полностью входит в область определения $[-2, 2]$.

Следовательно, функция принимает отрицательные значения только на промежутке $x \in (-1, 1)$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$; отрицательные значения при $x \in (-1, 1)$.

б)

Данная функция является кусочно-заданной: $y = \begin{cases} 4 - 2x, & \text{если } x > 1 \\ x^2 + 1, & \text{если } |x| \le 1 \\ 4 + 2x, & \text{если } x < -1 \end{cases}$

Для построения графика рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $(-\infty, -1)$ график функции совпадает с графиком функции $y = 4 + 2x$. Это часть прямой. Найдём значение на границе: при $x \to -1^-$, $y \to 4 + 2(-1) = 2$. Точка $(-1, 2)$ будет выколотой. Прямая пересекает ось Ox в точке, где $y=0$: $4+2x=0 \implies x=-2$.
2. На промежутке $[-1, 1]$ (что эквивалентно $|x| \le 1$) график совпадает с графиком функции $y = x^2 + 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 1)$. Найдём значения на границах: при $x = -1$, $y = (-1)^2 + 1 = 2$. Точка $(-1, 2)$ принадлежит графику. при $x = 1$, $y = 1^2 + 1 = 2$. Точка $(1, 2)$ принадлежит графику. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+1 \ge 1$, значит на этом промежутке функция всегда положительна. В точках $x=-1$ и $x=1$ график непрерывен.
3. На промежутке $(1, \infty)$ график функции совпадает с графиком функции $y = 4 - 2x$. Это часть прямой. Найдём значение на границе: при $x \to 1^+$, $y \to 4 - 2(1) = 2$. Эта точка совпадает с конечной точкой параболы. Прямая пересекает ось Ox в точке, где $y=0$: $4-2x=0 \implies x=2$.

Теперь определим промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения.

Положительные значения ($y > 0$):

• На промежутке $x < -1$, решаем неравенство $4 + 2x > 0 \implies 2x > -4 \implies x > -2$. Учитывая условие $x < -1$, получаем $x \in (-2, -1)$.
• На промежутке $[-1, 1]$, функция $y = x^2 + 1$ всегда положительна.
• На промежутке $x > 1$, решаем неравенство $4 - 2x > 0 \implies 4 > 2x \implies x < 2$. Учитывая условие $x > 1$, получаем $x \in (1, 2)$.

Объединяя все найденные промежутки $x \in (-2, -1) \cup [-1, 1] \cup (1, 2)$ и учитывая непрерывность функции, получаем, что $y > 0$ при $x \in (-2, 2)$.

Отрицательные значения ($y < 0$):

• На промежутке $x < -1$, решаем неравенство $4 + 2x < 0 \implies 2x < -4 \implies x < -2$. Таким образом, $y < 0$ при $x \in (-\infty, -2)$.
• На промежутке $[-1, 1]$ функция всегда положительна.
• На промежутке $x > 1$, решаем неравенство $4 - 2x < 0 \implies 4 < 2x \implies x > 2$. Таким образом, $y < 0$ при $x \in (2, \infty)$.

Объединяя результаты, получаем, что функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-2, 2)$; отрицательные значения при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.