Номер 337, страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 2. Неравенства и системы неравенств. Глава 2. Квадратичная функция - номер 337, страница 136.

337 a) Докажите, что выражение $-\frac{15}{2x^2 - 3x + 3}$ при любых значениях $x$ принимает отрицательные значения.

б) Докажите, что выражение $-\frac{24}{-3x^2 + 10x - 9}$ ни при каких значениях $x$ не принимает отрицательные значения.

а)

Чтобы доказать, что выражение $\frac{-15}{2x^2 - 3x + 3}$ при любых значениях $x$ принимает отрицательные значения, нужно определить знаки числителя и знаменателя.

Числитель дроби равен -15, это отрицательное число.

Дробь будет отрицательной, если ее знаменатель будет положительным. Рассмотрим знаменатель $2x^2 - 3x + 3$. Это квадратичная функция $y = 2x^2 - 3x + 3$. Графиком этой функции является парабола.

Определим знак этого выражения. Старший коэффициент $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Найдем дискриминант квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось Ox). Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, то вся парабола расположена выше этой оси. Следовательно, выражение $2x^2 - 3x + 3$ всегда положительно при любом значении $x$.

В итоге мы делим отрицательное число (-15) на положительное число ($2x^2 - 3x + 3 > 0$). Результат такого деления всегда отрицателен. Таким образом, выражение $\frac{-15}{2x^2 - 3x + 3}$ принимает отрицательные значения при любых значениях $x$.

Ответ: Доказано.

б)

Чтобы доказать, что выражение $\frac{-24}{-3x^2 + 10x - 9}$ ни при каких значениях $x$ не принимает отрицательные значения, нужно показать, что оно всегда положительно или равно нулю.

Числитель дроби равен -24, это отрицательное число. Поскольку числитель не равен нулю, то и вся дробь не может быть равна нулю. Значит, нужно доказать, что выражение всегда положительно.

Дробь будет положительной, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как числитель отрицательный, знаменатель также должен быть отрицательным. Рассмотрим знаменатель $-3x^2 + 10x - 9$. Это квадратичная функция $y = -3x^2 + 10x - 9$. Графиком этой функции является парабола.

Определим знак этого выражения. Старший коэффициент $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем дискриминант квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-9) = 100 - 108 = -8$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось Ox). Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, то вся парабола расположена ниже этой оси. Следовательно, выражение $-3x^2 + 10x - 9$ всегда отрицательно при любом значении $x$.

В итоге мы делим отрицательное число (-24) на отрицательное число ($-3x^2 + 10x - 9 < 0$). Результат такого деления всегда положителен. Таким образом, выражение $\frac{-24}{-3x^2 + 10x - 9}$ принимает только положительные значения, а значит, не принимает отрицательных значений ни при каких $x$.

Ответ: Доказано.