Страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

337 a) Докажите, что выражение $-\frac{15}{2x^2 - 3x + 3}$ при любых значениях $x$ принимает отрицательные значения.

б) Докажите, что выражение $-\frac{24}{-3x^2 + 10x - 9}$ ни при каких значениях $x$ не принимает отрицательные значения.

а)

Чтобы доказать, что выражение $\frac{-15}{2x^2 - 3x + 3}$ при любых значениях $x$ принимает отрицательные значения, нужно определить знаки числителя и знаменателя.

Числитель дроби равен -15, это отрицательное число.

Дробь будет отрицательной, если ее знаменатель будет положительным. Рассмотрим знаменатель $2x^2 - 3x + 3$. Это квадратичная функция $y = 2x^2 - 3x + 3$. Графиком этой функции является парабола.

Определим знак этого выражения. Старший коэффициент $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Найдем дискриминант квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось Ox). Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, то вся парабола расположена выше этой оси. Следовательно, выражение $2x^2 - 3x + 3$ всегда положительно при любом значении $x$.

В итоге мы делим отрицательное число (-15) на положительное число ($2x^2 - 3x + 3 > 0$). Результат такого деления всегда отрицателен. Таким образом, выражение $\frac{-15}{2x^2 - 3x + 3}$ принимает отрицательные значения при любых значениях $x$.

Ответ: Доказано.

б)

Чтобы доказать, что выражение $\frac{-24}{-3x^2 + 10x - 9}$ ни при каких значениях $x$ не принимает отрицательные значения, нужно показать, что оно всегда положительно или равно нулю.

Числитель дроби равен -24, это отрицательное число. Поскольку числитель не равен нулю, то и вся дробь не может быть равна нулю. Значит, нужно доказать, что выражение всегда положительно.

Дробь будет положительной, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как числитель отрицательный, знаменатель также должен быть отрицательным. Рассмотрим знаменатель $-3x^2 + 10x - 9$. Это квадратичная функция $y = -3x^2 + 10x - 9$. Графиком этой функции является парабола.

Определим знак этого выражения. Старший коэффициент $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем дискриминант квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-9) = 100 - 108 = -8$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось Ox). Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, то вся парабола расположена ниже этой оси. Следовательно, выражение $-3x^2 + 10x - 9$ всегда отрицательно при любом значении $x$.

В итоге мы делим отрицательное число (-24) на отрицательное число ($-3x^2 + 10x - 9 < 0$). Результат такого деления всегда положителен. Таким образом, выражение $\frac{-24}{-3x^2 + 10x - 9}$ принимает только положительные значения, а значит, не принимает отрицательных значений ни при каких $x$.

Ответ: Доказано.

338 a) Найдите все значения коэффициента b, при которых квадратный трёхчлен $2x^2 + bx + 8$ принимает только положительные значения. Запишите пример такого квадратного трёхчлена.

б) Найдите все значения коэффициента c, при которых квадратный трёхчлен $cx^2 - 3x + 25c$ принимает только отрицательные значения. Запишите пример такого квадратного трёхчлёна.

а)

Квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ принимает только положительные значения, если его график (парабола) полностью расположен выше оси абсцисс. Это происходит при выполнении двух условий:

1. Старший коэффициент должен быть положительным (ветви параболы направлены вверх): $a > 0$.
2. Дискриминант должен быть отрицательным (парабола не пересекает ось абсцисс): $D < 0$.

Рассмотрим трёхчлен $2x^2 + bx + 8$.

1. Старший коэффициент $a=2$. Условие $a > 0$ выполняется, так как $2 > 0$.

2. Найдём дискриминант $D$ и потребуем, чтобы он был отрицательным.

В нашем случае коэффициенты: $a=2$, второй коэффициент равен $b$, свободный член $c=8$.

$D = b^2 - 4ac = b^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = b^2 - 64$.

Решим неравенство $D < 0$:

$b^2 - 64 < 0$

$b^2 < 64$

Это неравенство выполняется, когда $-8 < b < 8$.

Таким образом, трёхчлен принимает только положительные значения при $b \in (-8, 8)$.

Запишем пример такого трёхчлена. Выберем любое значение $b$ из интервала $(-8, 8)$. Например, пусть $b=5$.

Пример: $2x^2 + 5x + 8$.

Ответ: $b \in (-8, 8)$. Пример: $2x^2 + 5x + 8$.

б)

Квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ принимает только отрицательные значения, если его график (парабола) полностью расположен ниже оси абсцисс. Это происходит при выполнении двух условий:

1. Старший коэффициент должен быть отрицательным (ветви параболы направлены вниз): $a < 0$.
2. Дискриминант должен быть отрицательным (парабола не пересекает ось абсцисс): $D < 0$.

Рассмотрим трёхчлен $cx^2 - 3x + 25c$.

В нашем случае коэффициенты: старший коэффициент равен $c$, второй коэффициент равен $-3$, свободный член равен $25c$.

Должна выполняться система неравенств:

$\begin{cases} c < 0 \\ D < 0 \end{cases}$

Найдём дискриминант $D$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot c \cdot (25c) = 9 - 100c^2$.

Решим неравенство $D < 0$:

$9 - 100c^2 < 0$

$9 < 100c^2$

$c^2 > \frac{9}{100}$

Это неравенство выполняется, когда $c < -\sqrt{\frac{9}{100}}$ или $c > \sqrt{\frac{9}{100}}$.

То есть, $c < -\frac{3}{10}$ или $c > \frac{3}{10}$.

Теперь объединим это решение с первым условием системы, $c < 0$.

Нам нужно найти пересечение множеств $c \in (-\infty, -3/10) \cup (3/10, +\infty)$ и $c \in (-\infty, 0)$.

Пересечением является интервал $c < -3/10$.

Таким образом, трёхчлен принимает только отрицательные значения при $c \in (-\infty, -3/10)$.

Запишем пример такого трёхчлена. Выберем любое значение $c$ из интервала $(-\infty, -3/10)$. Например, пусть $c=-1$.

Подставим $c=-1$ в исходный трёхчлен:

$(-1)x^2 - 3x + 25(-1) = -x^2 - 3x - 25$.

Ответ: $c \in (-\infty, -3/10)$. Пример: $-x^2 - 3x - 25$.

Вероятность, статистика, комбинаторика

339 В игре «Что? Где? Когда?» на столе осталось 3 письма (рис. 2.55). Волчок крутится по часовой стрелке. Если стрелка останавливается на уже пустом секторе, то выбирается письмо, ближайшее по направлению вращения волчка. Какова вероятность того, что жребий падёт на письмо:

а) из сектора 1;

б) из сектора 4;

в) из сектора 8?

340 В областной эстафете по лыжам четыре этапа. На каждом этапе бежит один человек из команды, при-

Рис. 2.55

В данной задаче мы имеем дело с классическим определением вероятности. Всего на игровом столе 13 секторов. Предполагается, что остановка волчка в любом из секторов равновероятна. Следовательно, общее число равновозможных элементарных исходов $n$ равно 13.

Согласно условию, на столе осталось 3 письма, которые расположены в секторах с номерами 1, 4 и 8. Правило игры гласит: если стрелка волчка останавливается на пустом секторе (где нет письма), то выбирается письмо из ближайшего сектора по направлению вращения волчка (по часовой стрелке).

Теперь определим, при остановке волчка на каких секторах будет выбрано каждое из писем, и вычислим соответствующие вероятности.

а) из сектора 1

Письмо из сектора 1 будет выбрано в следующих случаях:
1. Стрелка остановилась непосредственно на секторе 1.
2. Стрелка остановилась на одном из пустых секторов, после которого следующим сектором с письмом (по часовой стрелке) является сектор 1. Такими пустыми секторами являются 9, 10, 11, 12, 13.
Таким образом, общее количество благоприятных исходов $m$ для выбора письма из сектора 1 составляет $1 + 5 = 6$.
Вероятность $P(A)$ того, что будет выбрано письмо из сектора 1, равна:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{6}{13}$.

Ответ: $\frac{6}{13}$

б) из сектора 4

Письмо из сектора 4 будет выбрано в следующих случаях:
1. Стрелка остановилась непосредственно на секторе 4.
2. Стрелка остановилась на одном из пустых секторов, после которого следующим сектором с письмом (по часовой стрелке) является сектор 4. Такими пустыми секторами являются 2 и 3.
Таким образом, общее количество благоприятных исходов $m$ для выбора письма из сектора 4 составляет $1 + 2 = 3$.
Вероятность $P(B)$ того, что будет выбрано письмо из сектора 4, равна:
$P(B) = \frac{m}{n} = \frac{3}{13}$.

Ответ: $\frac{3}{13}$

в) из сектора 8

Письмо из сектора 8 будет выбрано в следующих случаях:
1. Стрелка остановилась непосредственно на секторе 8.
2. Стрелка остановилась на одном из пустых секторов, после которого следующим сектором с письмом (по часовой стрелке) является сектор 8. Такими пустыми секторами являются 5, 6 и 7.
Таким образом, общее количество благоприятных исходов $m$ для выбора письма из сектора 8 составляет $1 + 3 = 4$.
Вероятность $P(C)$ того, что будет выбрано письмо из сектора 8, равна:
$P(C) = \frac{m}{n} = \frac{4}{13}$.

Ответ: $\frac{4}{13}$

340 В областной эстафете по лыжам четыре этапа. На каждом этапе бежит один человек из команды, причём на первых двух бегут девушки, а на последних двух — юноши. В команде города N состоят 3 девушки и 5 юношей. Среди них — брат и сестра Коля и Оля Светловы. Участие в эстафете решено определить жеребьёвкой.

Рис. 2.55

а) Сколько существует вариантов эстафетной команды (здесь важно, кто на каком этапе побежит)?

б) Какова вероятность того, что Оля Светлова побежит в эстафете? Какова вероятность того, что в эстафете побежит Коля Светлов?

в) Какова вероятность того, что и Оля, и Коля Светловы попадут в эстафетную команду?

а) Сколько существует вариантов эстафетной команды (здесь важно, кто на каком этапе побежит)?

Эстафетная команда состоит из четырех человек, занимающих четыре пронумерованных этапа. Первые два этапа бегут девушки, а последние два — юноши. Порядок важен, поэтому мы будем использовать формулу размещений.

1. Выбор девушек на 1-й и 2-й этапы.
Нужно выбрать 2 девушек из 3 и расставить их по двум этапам. Число таких способов — это число размещений из 3 элементов по 2, которое обозначается как $A_3^2$.
Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 3 \times 2 \times 1 = 6$ вариантов.

2. Выбор юношей на 3-й и 4-й этапы.
Нужно выбрать 2 юношей из 5 и расставить их по двум этапам. Число таких способов — это число размещений из 5 элементов по 2, $A_5^2$.
$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 4 = 20$ вариантов.

3. Общее число вариантов эстафетной команды.
По правилу умножения в комбинаторике, общее число вариантов равно произведению числа вариантов выбора девушек и числа вариантов выбора юношей.
Всего вариантов: $N = A_3^2 \times A_5^2 = 6 \times 20 = 120$.

Ответ: 120.

б) Какова вероятность того, что Оля Светлова побежит в эстафете? Какова вероятность того, что в эстафете побежит Коля Светлов?

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Вероятность участия Оли Светловой.
Общее число вариантов формирования команды $N = 120$ (из пункта а).
Найдем число вариантов $m_{Оля}$, при которых Оля участвует в эстафете. Оля — девушка, поэтому она может бежать на 1-м или 2-м этапе.
- Если Оля бежит 1-й этап, то на 2-й этап можно выбрать любую из 2 оставшихся девушек. Число вариантов для юношей остается прежним, $A_5^2 = 20$. Вариантов: $1 \times 2 \times 20 = 40$.
- Если Оля бежит 2-й этап, то на 1-й этап можно выбрать любую из 2 оставшихся девушек. Число вариантов для юношей также $A_5^2 = 20$. Вариантов: $2 \times 1 \times 20 = 40$.
Итого, $m_{Оля} = 40 + 40 = 80$ вариантов.
Вероятность участия Оли: $P(Оля) = \frac{m_{Оля}}{N} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3}$.
Простой способ: для двух мест в команде, предназначенных для девушек, претендуют 3 девушки. Шанс любой из них попасть в команду равен $\frac{2}{3}$.

Вероятность участия Коли Светлова.
Аналогично, общее число вариантов $N=120$.
Найдем число вариантов $m_{Коля}$, при которых Коля участвует в эстафете. Коля — юноша, он может бежать на 3-м или 4-м этапе.
- Если Коля бежит 3-й этап, то на 4-й этап можно выбрать любого из 4 оставшихся юношей. Число вариантов для девушек $A_3^2 = 6$. Вариантов: $6 \times 1 \times 4 = 24$.
- Если Коля бежит 4-й этап, то на 3-й этап можно выбрать любого из 4 оставшихся юношей. Число вариантов для девушек $A_3^2 = 6$. Вариантов: $6 \times 4 \times 1 = 24$.
Итого, $m_{Коля} = 24 + 24 = 48$ вариантов.
Вероятность участия Коли: $P(Коля) = \frac{m_{Коля}}{N} = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}$.
Простой способ: для двух мест в команде, предназначенных для юношей, претендуют 5 юношей. Шанс любого из них попасть в команду равен $\frac{2}{5}$.

Ответ: Вероятность того, что Оля Светлова побежит в эстафете, равна $\frac{2}{3}$. Вероятность того, что в эстафете побежит Коля Светлов, равна $\frac{2}{5}$.

в) Какова вероятность того, что и Оля, и Коля Светловы попадут в эстафетную команду?

Выбор девушек и выбор юношей — независимые события. Поэтому вероятность того, что и Оля, и Коля попадут в команду, равна произведению их индивидуальных вероятностей.

$P(Оля \ и \ Коля) = P(Оля) \times P(Коля)$
$P(Оля \ и \ Коля) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$.

Проверим этот результат комбинаторным методом.
Общее число исходов $N = 120$.
Найдем число благоприятных исходов $m_{оба}$, когда в команде есть и Оля, и Коля.
1. Выбор девушек с участием Оли. Нужно выбрать еще одну девушку из 2 оставшихся ($C_2^1=2$ способа). Затем этих двух девушек (Олю и вторую) нужно расставить по двум этапам ($2! = 2$ способа). Всего $2 \times 2 = 4$ варианта для женских этапов.
2. Выбор юношей с участием Коли. Нужно выбрать еще одного юношу из 4 оставшихся ($C_4^1=4$ способа). Затем этих двух юношей (Колю и второго) нужно расставить по двум этапам ($2! = 2$ способа). Всего $4 \times 2 = 8$ вариантов для мужских этапов.
Общее число вариантов команды с Олей и Колей: $m_{оба} = 4 \times 8 = 32$.
Вероятность: $P(Оля \ и \ Коля) = \frac{m_{оба}}{N} = \frac{32}{120} = \frac{4 \times 8}{15 \times 8} = \frac{4}{15}$.
Результаты совпадают.

Ответ: $\frac{4}{15}$.

341 Для работы в модельном агентстве отбирают девушек с ростом не менее 175 см. Есть четыре группы кандидаток:

в группе А средний рост равен 177 см;

в группе Б наибольший рост равен 173 см;

в группе В наименьший рост равен 180 см;

в группе Г медиана ряда ростов равна 177 см.

Для каждой группы выберите соответствующее ей утверждение:

1) в группе нет ни одной девушки, подходящей по росту;

2) все девушки в группе подходят по росту;

3) заведомо половина девушек группы подходит по росту;

4) в группе есть девушки, подходящие по росту, но оценить их число невозможно.

Проанализируем каждую группу кандидаток в соответствии с условием отбора: рост должен быть не менее 175 см, то есть рост $ \ge 175 $ см.

в группе А
Средний рост равен 177 см. Если средний рост больше минимально требуемого, это гарантирует, что в группе есть хотя бы одна девушка с ростом $ \ge 175 $ см (иначе средний рост был бы меньше 175 см). Однако это не позволяет точно определить, сколько девушек подходят. Например, в группе из двух девушек с ростом 170 см и 184 см средний рост $ (170 + 184) / 2 = 177 $ см, но подходит только одна. А в группе из 10 девушек, где у девяти рост 170 см, а у одной — 240 см, средний рост также будет 177 см, но подходит лишь одна из десяти. Таким образом, мы знаем, что подходящие девушки есть, но их число оценить невозможно. Это соответствует утверждению 4.
Ответ: 4) в группе есть девушки, подходящие по росту, но оценить их число невозможно.

в группе Б
Наибольший рост равен 173 см. Это значит, что рост любой девушки в этой группе не превышает 173 см. Поскольку $ 173 < 175 $, ни одна девушка из этой группы не соответствует требованию по росту. Это соответствует утверждению 1.
Ответ: 1) в группе нет ни одной девушки, подходящей по росту.

в группе В
Наименьший рост равен 180 см. Это значит, что рост любой девушки в этой группе не меньше 180 см. Поскольку $ 180 \ge 175 $, все девушки из этой группы соответствуют требованию по росту. Это соответствует утверждению 2.
Ответ: 2) все девушки в группе подходят по росту.

в группе Г
Медиана ряда ростов равна 177 см. По определению медианы, как минимум половина всех девушек в группе имеет рост не меньше медианного значения, то есть их рост $ \ge 177 $ см. Так как $ 177 \ge 175 $, это означает, что заведомо (как минимум) половина девушек в группе подходит по росту. Это соответствует утверждению 3.
Ответ: 3) заведомо половина девушек группы подходит по росту.