Номер 340, страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 2. Вероятность, статистика, комбинаторика. Глава 2. Квадратичная функция - номер 340, страница 136.

340 В областной эстафете по лыжам четыре этапа. На каждом этапе бежит один человек из команды, причём на первых двух бегут девушки, а на последних двух — юноши. В команде города N состоят 3 девушки и 5 юношей. Среди них — брат и сестра Коля и Оля Светловы. Участие в эстафете решено определить жеребьёвкой.

Рис. 2.55

а) Сколько существует вариантов эстафетной команды (здесь важно, кто на каком этапе побежит)?

б) Какова вероятность того, что Оля Светлова побежит в эстафете? Какова вероятность того, что в эстафете побежит Коля Светлов?

в) Какова вероятность того, что и Оля, и Коля Светловы попадут в эстафетную команду?

а) Сколько существует вариантов эстафетной команды (здесь важно, кто на каком этапе побежит)?

Эстафетная команда состоит из четырех человек, занимающих четыре пронумерованных этапа. Первые два этапа бегут девушки, а последние два — юноши. Порядок важен, поэтому мы будем использовать формулу размещений.

1. Выбор девушек на 1-й и 2-й этапы.
Нужно выбрать 2 девушек из 3 и расставить их по двум этапам. Число таких способов — это число размещений из 3 элементов по 2, которое обозначается как $A_3^2$.
Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 3 \times 2 \times 1 = 6$ вариантов.

2. Выбор юношей на 3-й и 4-й этапы.
Нужно выбрать 2 юношей из 5 и расставить их по двум этапам. Число таких способов — это число размещений из 5 элементов по 2, $A_5^2$.
$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 4 = 20$ вариантов.

3. Общее число вариантов эстафетной команды.
По правилу умножения в комбинаторике, общее число вариантов равно произведению числа вариантов выбора девушек и числа вариантов выбора юношей.
Всего вариантов: $N = A_3^2 \times A_5^2 = 6 \times 20 = 120$.

Ответ: 120.

б) Какова вероятность того, что Оля Светлова побежит в эстафете? Какова вероятность того, что в эстафете побежит Коля Светлов?

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Вероятность участия Оли Светловой.
Общее число вариантов формирования команды $N = 120$ (из пункта а).
Найдем число вариантов $m_{Оля}$, при которых Оля участвует в эстафете. Оля — девушка, поэтому она может бежать на 1-м или 2-м этапе.
- Если Оля бежит 1-й этап, то на 2-й этап можно выбрать любую из 2 оставшихся девушек. Число вариантов для юношей остается прежним, $A_5^2 = 20$. Вариантов: $1 \times 2 \times 20 = 40$.
- Если Оля бежит 2-й этап, то на 1-й этап можно выбрать любую из 2 оставшихся девушек. Число вариантов для юношей также $A_5^2 = 20$. Вариантов: $2 \times 1 \times 20 = 40$.
Итого, $m_{Оля} = 40 + 40 = 80$ вариантов.
Вероятность участия Оли: $P(Оля) = \frac{m_{Оля}}{N} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3}$.
Простой способ: для двух мест в команде, предназначенных для девушек, претендуют 3 девушки. Шанс любой из них попасть в команду равен $\frac{2}{3}$.

Вероятность участия Коли Светлова.
Аналогично, общее число вариантов $N=120$.
Найдем число вариантов $m_{Коля}$, при которых Коля участвует в эстафете. Коля — юноша, он может бежать на 3-м или 4-м этапе.
- Если Коля бежит 3-й этап, то на 4-й этап можно выбрать любого из 4 оставшихся юношей. Число вариантов для девушек $A_3^2 = 6$. Вариантов: $6 \times 1 \times 4 = 24$.
- Если Коля бежит 4-й этап, то на 3-й этап можно выбрать любого из 4 оставшихся юношей. Число вариантов для девушек $A_3^2 = 6$. Вариантов: $6 \times 4 \times 1 = 24$.
Итого, $m_{Коля} = 24 + 24 = 48$ вариантов.
Вероятность участия Коли: $P(Коля) = \frac{m_{Коля}}{N} = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}$.
Простой способ: для двух мест в команде, предназначенных для юношей, претендуют 5 юношей. Шанс любого из них попасть в команду равен $\frac{2}{5}$.

Ответ: Вероятность того, что Оля Светлова побежит в эстафете, равна $\frac{2}{3}$. Вероятность того, что в эстафете побежит Коля Светлов, равна $\frac{2}{5}$.

в) Какова вероятность того, что и Оля, и Коля Светловы попадут в эстафетную команду?

Выбор девушек и выбор юношей — независимые события. Поэтому вероятность того, что и Оля, и Коля попадут в команду, равна произведению их индивидуальных вероятностей.

$P(Оля \ и \ Коля) = P(Оля) \times P(Коля)$
$P(Оля \ и \ Коля) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$.

Проверим этот результат комбинаторным методом.
Общее число исходов $N = 120$.
Найдем число благоприятных исходов $m_{оба}$, когда в команде есть и Оля, и Коля.
1. Выбор девушек с участием Оли. Нужно выбрать еще одну девушку из 2 оставшихся ($C_2^1=2$ способа). Затем этих двух девушек (Олю и вторую) нужно расставить по двум этапам ($2! = 2$ способа). Всего $2 \times 2 = 4$ варианта для женских этапов.
2. Выбор юношей с участием Коли. Нужно выбрать еще одного юношу из 4 оставшихся ($C_4^1=4$ способа). Затем этих двух юношей (Колю и второго) нужно расставить по двум этапам ($2! = 2$ способа). Всего $4 \times 2 = 8$ вариантов для мужских этапов.
Общее число вариантов команды с Олей и Колей: $m_{оба} = 4 \times 8 = 32$.
Вероятность: $P(Оля \ и \ Коля) = \frac{m_{оба}}{N} = \frac{32}{120} = \frac{4 \times 8}{15 \times 8} = \frac{4}{15}$.
Результаты совпадают.

Ответ: $\frac{4}{15}$.