Номер 3, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 2. Квадратичная функция - номер 3, страница 138.

3 Постройте график функции:

a) $y = \frac{1}{2}x^2$;

б) $y = -x^2$.

В каждом случае укажите промежутки возрастания и убывания функции.

а) $y = \frac{1}{2}x^2$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a = \frac{1}{2}$. Так как коэффициент $a > 0$, график этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Функция является четной, поскольку $y(-x) = \frac{1}{2}(-x)^2 = \frac{1}{2}x^2 = y(x)$, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих параболе, и составим таблицу значений:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y$	4.5	2	0.5	0	0.5	2	4.5

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, мы получим график функции $y = \frac{1}{2}x^2$.

Теперь определим промежутки возрастания и убывания функции. Вершина параболы $(0, 0)$ является точкой минимума.

• На промежутке от $-\infty$ до $0$ с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• На промежутке от $0$ до $+\infty$ с увеличением $x$ значения $y$ увеличиваются. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

---

б) $y = -x^2$

Это также квадратичная функция вида $y = ax^2$, где $a = -1$. Так как коэффициент $a < 0$, график этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = y(x)$, поэтому ее график симметричен относительно оси OY.

Для построения графика составим таблицу значений:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y$	-9	-4	-1	0	-1	-4	-9

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график функции $y = -x^2$.

Определим промежутки возрастания и убывания. Вершина параболы $(0, 0)$ является точкой максимума.

• На промежутке от $-\infty$ до $0$ с увеличением $x$ значения $y$ увеличиваются. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• На промежутке от $0$ до $+\infty$ с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются. Следовательно, функция убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.