Номер 8, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 2. Квадратичная функция - номер 8, страница 139.

8 Постройте график функции: а) $y = x^2 - 4x - 5$; б) $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x$.

В каждом случае укажите:

1) нули функции;

2) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

а) $y = x^2 - 4x - 5$

Графиком данной функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем ключевые точки:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находятся по формулам $x_v = -\frac{b}{2a}$ и $y_v = y(x_v)$.
   $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
   $y_v = (2)^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
   Вершина находится в точке $(2, -9)$.
2. Точки пересечения с осями координат.
   При пересечении с осью OY, $x=0$:
   $y = 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
   При пересечении с осью OX, $y=0$ (нули функции):
   $x^2 - 4x - 5 = 0$.
   Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.
   $x_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1$.
   $x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5$.
   Точки пересечения с осью OX: $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.
3. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости вершину $(2, -9)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(5, 0)$ и $(0, -5)$. Также можно найти симметричную точке $(0, -5)$ относительно оси симметрии $x=2$ точку $(4, -5)$. Соединяем точки плавной линией, получая параболу.

1) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Для их нахождения решаем уравнение $x^2 - 4x - 5 = 0$.
Корни этого уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.

Ответ: нули функции: $x=-1$, $x=5$.

2) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

Анализируя график параболы с ветвями вверх, пересекающей ось OX в точках -1 и 5, мы можем определить знаки функции:

• Функция принимает положительные значения ($y>0$), когда ее график находится выше оси OX. Это происходит на интервалах, где $x$ меньше меньшего корня или больше большего корня.
• Функция принимает отрицательные значения ($y<0$), когда ее график находится ниже оси OX. Это происходит на интервале между корнями.

Следовательно, $y>0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$, и $y<0$ при $x \in (-1, 5)$.

Ответ: функция положительна при $x < -1$ или $x > 5$; функция отрицательна при $-1 < x < 5$.

---

б) $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x$

Графиком данной функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{3}$, что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем ключевые точки:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находятся по формулам $x_v = -\frac{b}{2a}$ и $y_v = y(x_v)$.
   $x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = -\frac{2}{-\frac{2}{3}} = 3$.
   $y_v = -\frac{1}{3}(3)^2 + 2(3) = -\frac{1}{3} \cdot 9 + 6 = -3 + 6 = 3$.
   Вершина находится в точке $(3, 3)$.
2. Точки пересечения с осями координат.
   При пересечении с осью OY, $x=0$:
   $y = -\frac{1}{3}(0)^2 + 2(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
   При пересечении с осью OX, $y=0$ (нули функции):
   $-\frac{1}{3}x^2 + 2x = 0$.
   Вынесем $x$ за скобки: $x(-\frac{1}{3}x + 2) = 0$.
   $x_1 = 0$ или $-\frac{1}{3}x + 2 = 0 \implies \frac{1}{3}x=2 \implies x_2=6$.
   Точки пересечения с осью OX: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.
3. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости вершину $(3, 3)$ и точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(6, 0)$. Соединяем точки плавной линией, получая параболу, направленную ветвями вниз.

1) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Для их нахождения решаем уравнение $-\frac{1}{3}x^2 + 2x = 0$.
Корни этого уравнения $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Ответ: нули функции: $x=0$, $x=6$.

2) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

Анализируя график параболы с ветвями вниз, пересекающей ось OX в точках 0 и 6, мы можем определить знаки функции:

• Функция принимает положительные значения ($y>0$), когда ее график находится выше оси OX. Это происходит на интервале между корнями.
• Функция принимает отрицательные значения ($y<0$), когда ее график находится ниже оси OX. Это происходит на интервалах, где $x$ меньше меньшего корня или больше большего корня.

Следовательно, $y>0$ при $x \in (0, 6)$, и $y<0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$.

Ответ: функция положительна при $0 < x < 6$; функция отрицательна при $x < 0$ или $x > 6$.