Номер 7, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 2. Квадратичная функция - номер 7, страница 139.

7 Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 4$;

б) $y = 1 - x^2$.

В каждом случае укажите:

1) наибольшее (наименьшее) значение функции;

2) промежуток, на котором функция возрастает; убывает.

а) $y = x^2 - 4$

Построение графика:
Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 4 единицы вниз по оси Oy.
1. Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a=1$), что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$
$y_0 = (0)^2 - 4 = -4$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0; -4)$.
3. Найдем несколько точек для более точного построения. Поскольку парабола симметрична относительно оси Oy, достаточно найти значения для $x > 0$:

• при $x = 1$, $y = 1^2 - 4 = -3$. Точка $(1; -3)$ и симметричная ей $(-1; -3)$.
• при $x = 2$, $y = 2^2 - 4 = 0$. Точка $(2; 0)$ и симметричная ей $(-2; 0)$. Это точки пересечения с осью Ox.
• при $x = 3$, $y = 3^2 - 4 = 5$. Точка $(3; 5)$ и симметричная ей $(-3; 5)$.

Соединив эти точки плавной линией, получаем график функции.

1) наибольшее (наименьшее) значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в своей вершине и не имеет наибольшего значения (стремится к $+\infty$).
Наименьшее значение функции: $y_{наим} = y_0 = -4$.

2) промежуток, на котором функция возрастает; убывает

Функция убывает слева от вершины и возрастает справа от вершины. Абсцисса вершины $x_0 = 0$.
Функция возрастает на промежутке $x \in [0; +\infty)$.
Функция убывает на промежутке $x \in (-\infty; 0]$.

Ответ: 1) наименьшее значение функции равно -4; 2) функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

---

б) $y = 1 - x^2$

Построение графика:
Графиком функции $y = 1 - x^2$ (или $y = -x^2 + 1$) является парабола. Это парабола $y = -x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси Oy.
1. Коэффициент при $x^2$ равен -1 ($a=-1$), что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$
$y_0 = 1 - (0)^2 = 1$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0; 1)$.
3. Найдем несколько точек для построения. Парабола симметрична относительно оси Oy.

• при $x = 1$, $y = 1 - 1^2 = 0$. Точка $(1; 0)$ и симметричная ей $(-1; 0)$. Это точки пересечения с осью Ox.
• при $x = 2$, $y = 1 - 2^2 = -3$. Точка $(2; -3)$ и симметричная ей $(-2; -3)$.

Соединив вершину $(0; 1)$ и найденные точки плавной линией, получаем график функции.

1) наибольшее (наименьшее) значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в своей вершине и не имеет наименьшего значения (стремится к $-\infty$).
Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = y_0 = 1$.

2) промежуток, на котором функция возрастает; убывает

Функция возрастает слева от вершины и убывает справа от вершины. Абсцисса вершины $x_0 = 0$.
Функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty; 0]$.
Функция убывает на промежутке $x \in [0; +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение функции равно 1; 2) функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.