Номер 9, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 2. Квадратичная функция - номер 9, страница 139.

9 Постройте график функции: а) $y = x^2 - 2x + 3$; б) $y = -x^2 + 2x - 1$.

В каждом случае укажите:

1) при каком значении $x$ функция принимает наименьшее (наибольшее) значение;

2) промежутки возрастания и убывания функции.

а) Дана функция $y = x^2 - 2x + 3$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Для её построения и анализа выполним следующие действия:

1. Определение направления ветвей. Старший коэффициент $a=1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Нахождение координат вершины. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находим по формулам:
   $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$
   $y_v = y(x_v) = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
   Вершина параболы находится в точке $(1, 2)$. Прямая $x=1$ является осью симметрии параболы.
3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
   При $x=0$, $y = 0^2 - 2(0) + 3 = 3$. Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, 3)$.
   При $y=0$, $x^2 - 2x + 3 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, следовательно, график не пересекает ось $Ox$.
4. Построение графика. Используем вершину $(1, 2)$, точку $(0, 3)$ и симметричную ей точку $(2, 3)$ относительно оси $x=1$. Для большей точности можно найти еще пару точек, например, при $x=3$, $y = 3^2 - 2(3) + 3 = 6$. Точка $(3, 6)$ и симметричная ей $(-1, 6)$. По этим точкам строим параболу.

Теперь ответим на вопросы задачи, используя свойства полученной параболы.

1) при каком значении $x$ функция принимает наименьшее (наибольшее) значение;

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение. Оно достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины $x_v = 1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции.

Функция убывает слева от вершины и возрастает справа от неё. Вершина имеет абсциссу $x=1$.
Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.
Функция возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

Ответ: 1) наименьшее значение функция принимает при $x = 1$; 2) функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

---

б) Дана функция $y = -x^2 + 2x - 1$.

Это также квадратичная функция, и её график — парабола. Выполним анализ:

1. Определение направления ветвей. Старший коэффициент $a=-1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Нахождение координат вершины. Упростим выражение, выделив полный квадрат:
   $y = -(x^2 - 2x + 1) = -(x-1)^2$
   Из этого вида $y=a(x-h)^2+k$ видно, что вершина параболы находится в точке $(h, k) = (1, 0)$.
   Ось симметрии параболы — прямая $x=1$.
3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
   При $x=0$, $y = -(0-1)^2 = -1$. Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, -1)$.
   При $y=0$, $-(x-1)^2 = 0$, откуда $x-1=0$, то есть $x=1$. График касается оси $Ox$ в своей вершине, в точке $(1, 0)$.
4. Построение графика. Используем вершину $(1, 0)$, точку $(0, -1)$ и симметричную ей точку $(2, -1)$. Для большей точности найдем еще пару точек, например, при $x=3$, $y = -(3-1)^2 = -4$. Точка $(3, -4)$ и симметричная ей $(-1, -4)$. По этим точкам строим параболу.

Теперь ответим на вопросы задачи, используя свойства полученной параболы.

1) при каком значении $x$ функция принимает наименьшее (наибольшее) значение;

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение. Оно достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины $x_v = 1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции.

Функция возрастает слева от вершины и убывает справа от неё. Вершина имеет абсциссу $x=1$.
Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$.
Функция убывает на промежутке $[1, \infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение функция принимает при $x = 1$; 2) функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, \infty)$.