Номер 6, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 2. Квадратичная функция - номер 6, страница 138.

6 На рисунке 2.26 (см. с. 97) изображён график функции

$y = x^2 + 4x - 5$. С помощью графика определите:

а) нули функции;

б) значение функции, которое она принимает при $x = -1$;

в) значения $x$, при которых значение функции равно 5;

г) значения $x$, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения;

д) наименьшее значение функции;

е) промежуток, на котором функция возрастает; убывает.

а) нули функции
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы их найти, необходимо решить уравнение $y = 0$, то есть $x^2 + 4x - 5 = 0$.
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 6}{2}$
$x_1 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$
На графике это точки, в которых парабола пересекает ось абсцисс (ось $Ox$).
Ответ: $x = -5, x = 1$.

б) значение функции, которое она принимает при x = -1
Чтобы найти значение функции при $x = -1$, подставим это значение в уравнение функции $y = x^2 + 4x - 5$:
$y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8$
На графике это ордината точки на параболе, абсцисса которой равна -1.
Ответ: $y = -8$.

в) значения x, при которых значение функции равно 5
Чтобы найти значения $x$, при которых $y = 5$, решим уравнение $x^2 + 4x - 5 = 5$:
$x^2 + 4x - 10 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 16 + 40 = 56$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -2 \pm \sqrt{14}$
На графике это абсциссы точек пересечения параболы с горизонтальной прямой $y=5$.
Ответ: $x = -2 - \sqrt{14}, x = -2 + \sqrt{14}$.

г) значения x, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения
График функции $y = x^2 + 4x - 5$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x=-5$ и $x=1$ (нули функции).
Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график находится выше оси $Ox$. Это происходит на интервалах левее и правее корней.
Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее график находится ниже оси $Ox$. Это происходит на интервале между корнями.
Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; -5) \cup (1; \infty)$; функция принимает отрицательные значения при $x \in (-5; 1)$.

д) наименьшее значение функции
Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Найдем координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Наименьшее значение функции — это ордината вершины. Подставим $x_в = -2$ в уравнение функции:
$y_{наим} = y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Ответ: наименьшее значение функции равно -9.

е) промежуток, на котором функция возрастает; убывает
Возрастание и убывание квадратичной функции определяется положением ее вершины. Вершина параболы $y = x^2 + 4x - 5$ находится в точке с абсциссой $x = -2$.
Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины.
Промежуток убывания: $(-\infty; -2]$.
Промежуток возрастания: $[-2; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -2]$.