Страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

223 Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \le 0 \\ -x^2, \text{ если } x > 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -2x^2, \text{ если } x < 0 \\ 2x^2, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} 2x^2, \text{ если } x \le 0 \\ -\frac{1}{2}x^2, \text{ если } x > 0; \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} -x^2, \text{ если } x < 0 \\ 0,5x^2, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

Для каждой функции определите, является ли она возрастающей или убывающей.

а)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0 \\ -x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика. График состоит из двух частей.
1. При $x \le 0$ строим график функции $y = x^2$. Это левая ветвь параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для построения возьмем контрольные точки: $(0, 0)$, $(-1, 1)$, $(-2, 4)$.
2. При $x > 0$ строим график функции $y = -x^2$. Это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Контрольные точки: $(1, -1)$, $(2, -4)$. Точка $(0, 0)$ не принадлежит этой части графика, но график стремится к ней.
Соединив обе части, получаем непрерывный график, проходящий через начало координат.

Определение монотонности.
На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y = x^2$ убывает (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).
На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y = -x^2$ также убывает.
Рассмотрим любые два значения $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$. Если $x_1 \le 0$ и $x_2 > 0$, то $y(x_1) = x_1^2 \ge 0$, а $y(x_2) = -x_2^2 < 0$. Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$.
Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$, значит, функция убывает на всей области определения.

Ответ: График состоит из левой ветви параболы $y=x^2$ и правой ветви параболы $y=-x^2$. Функция является убывающей.

б)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ 2x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика. График состоит из двух частей.
1. При $x < 0$ строим график функции $y = -2x^2$. Это левая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$, ветвями вниз и растянутой вдоль оси OY. Контрольные точки: $(-1, -2)$, $(-2, -8)$.
2. При $x \ge 0$ строим график функции $y = 2x^2$. Это правая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$, ветвями вверх и растянутой вдоль оси OY. Контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(2, 8)$.
Обе части соединяются в точке $(0, 0)$, образуя непрерывный график.

Определение монотонности.
На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y = -2x^2$ возрастает.
На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y = 2x^2$ также возрастает.
Рассмотрим любые два значения $x_1 < 0$ и $x_2 \ge 0$. Тогда $y(x_1) = -2x_1^2 < 0$, а $y(x_2) = 2x_2^2 \ge 0$. Следовательно, $y(x_1) < y(x_2)$.
Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) < y(x_2)$, значит, функция возрастает на всей области определения.

Ответ: График состоит из левой ветви параболы $y=-2x^2$ и правой ветви параболы $y=2x^2$. Функция является возрастающей.

в)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \le 0 \\ -\frac{1}{2}x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика. График состоит из двух частей.
1. При $x \le 0$ строим график $y = 2x^2$. Это левая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$, ветвями вверх, растянутой вдоль оси OY. Контрольные точки: $(0, 0)$, $(-1, 2)$, $(-2, 8)$.
2. При $x > 0$ строим график $y = -\frac{1}{2}x^2$. Это правая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$, ветвями вниз, сжатой к оси OX. Контрольные точки: $(1, -0.5)$, $(2, -2)$.
Обе части соединяются в точке $(0, 0)$, образуя непрерывный график.

Определение монотонности.
На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y = 2x^2$ убывает.
На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y = -\frac{1}{2}x^2$ также убывает.
Рассмотрим любые $x_1 \le 0$ и $x_2 > 0$. Тогда $y(x_1) = 2x_1^2 \ge 0$, а $y(x_2) = -\frac{1}{2}x_2^2 < 0$. Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$.
Функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: График состоит из левой ветви параболы $y=2x^2$ и правой ветви параболы $y=-\frac{1}{2}x^2$. Функция является убывающей.

г)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x < 0 \\ 0,5x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика. График состоит из двух частей.
1. При $x < 0$ строим график $y = -x^2$. Это левая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$ и ветвями вниз. Контрольные точки: $(-1, -1)$, $(-2, -4)$.
2. При $x \ge 0$ строим график $y = 0,5x^2$ (или $y = \frac{1}{2}x^2$). Это правая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$, ветвями вверх, сжатой к оси OX. Контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, 0.5)$, $(2, 2)$.
Обе части соединяются в точке $(0, 0)$, образуя непрерывный график.

Определение монотонности.
На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y = -x^2$ возрастает.
На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y = 0,5x^2$ также возрастает.
Рассмотрим любые $x_1 < 0$ и $x_2 \ge 0$. Тогда $y(x_1) = -x_1^2 < 0$, а $y(x_2) = 0,5x_2^2 \ge 0$. Следовательно, $y(x_1) < y(x_2)$.
Функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: График состоит из левой ветви параболы $y=-x^2$ и правой ветви параболы $y=0,5x^2$. Функция является возрастающей.

224 Известно, что график квадратичной функции, заданной формулой вида $y = ax^2$, проходит через точку $C(-6; -9)$.

1) Укажите координаты точки графика, которая симметрична точке C.

2) Найдите коэффициент $a$.

3) Укажите координаты каких-нибудь двух точек, одна из которых принадлежит графику, а другая нет.

1) Укажите координаты точки графика, которая симметрична точке С.

График квадратичной функции вида $y = ax^2$ является параболой, симметричной относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что для любой точки $(x; y)$, принадлежащей графику, точка $(-x; y)$ также будет принадлежать этому графику.
Нам дана точка $C(-6; -9)$, которая лежит на графике.
Точка, симметричная ей относительно оси OY, будет иметь ту же ординату ($y = -9$) и противоположную по знаку абсциссу.
Новая абсцисса будет $-(-6) = 6$.
Следовательно, координаты симметричной точки: $(6; -9)$.

Ответ: $(6; -9)$.

2) Найдите коэффициент a.

Для нахождения коэффициента $a$ воспользуемся тем, что график функции $y = ax^2$ проходит через точку $C(-6; -9)$. Это значит, что при подстановке координат этой точки в формулу функции мы получим верное равенство.
Подставим $x = -6$ и $y = -9$ в уравнение $y = ax^2$:
$-9 = a \cdot (-6)^2$
$-9 = a \cdot 36$
Теперь найдем $a$, разделив обе части уравнения на 36:
$a = \frac{-9}{36}$
Сократив дробь на 9, получаем:
$a = -\frac{1}{4}$

Ответ: $a = -1/4$.

3) Укажите координаты каких-нибудь двух точек, одна из которых принадлежит графику, а другая нет.

Теперь мы знаем точную формулу функции: $y = -\frac{1}{4}x^2$.

Точка, принадлежащая графику:
Чтобы найти точку, которая принадлежит графику, выберем произвольное значение $x$ и вычислим соответствующий $y$. Возьмем, например, $x = 4$.
$y = -\frac{1}{4} \cdot (4)^2 = -\frac{1}{4} \cdot 16 = -4$.
Следовательно, точка с координатами $(4; -4)$ принадлежит графику.

Точка, не принадлежащая графику:
Чтобы найти точку, которая не принадлежит графику, выберем произвольную пару координат и проверим, удовлетворяет ли она уравнению. Возьмем, например, точку $(2; 1)$.
Подставим $x=2$ и $y=1$ в уравнение функции:
$1 = -\frac{1}{4} \cdot (2)^2$
$1 = -\frac{1}{4} \cdot 4$
$1 = -1$
Это равенство неверно, значит, точка $(2; 1)$ не принадлежит графику.

Ответ: точка $(4; -4)$ принадлежит графику, а точка $(2; 1)$ не принадлежит графику. (Примечание: можно выбрать множество других точек).

225 МОДЕЛИРУЕМ Используя схематический график, сравните значения выражений:

а) $5 \cdot (-17)^2$ и $5 \cdot (-7)^2$;

б) $-2 \cdot 91^2$ и $-2 \cdot 19^2$;

в) $-4 \cdot 1,5^2$ и $-4 \cdot (-1,5)^2$;

г) $0,5 \cdot 25^2$ и $0,5 \cdot 45^2$.

а) Сравним значения выражений $5 \cdot (-17)^2$ и $5 \cdot (-7)^2$.

Оба выражения являются значениями функции $y = 5x^2$ в точках $x_1 = -17$ и $x_2 = -7$.

Схематический график функции $y = 5x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0,0), ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент $a=5 > 0$).

Для параболы, ветви которой направлены вверх, значение функции тем больше, чем дальше абсцисса точки (значение $x$) находится от вершины параболы (от нуля). Сравним расстояния от точек $x_1 = -17$ и $x_2 = -7$ до нуля: $|-17| = 17$ и $|-7| = 7$.

Поскольку $17 > 7$, точка $x_1 = -17$ находится дальше от нуля, чем точка $x_2 = -7$. Следовательно, значение функции в этой точке будет больше.

Таким образом, $5 \cdot (-17)^2 > 5 \cdot (-7)^2$.

Ответ: $5 \cdot (-17)^2 > 5 \cdot (-7)^2$.

б) Сравним значения выражений $-2 \cdot 91^2$ и $-2 \cdot 19^2$.

Оба выражения являются значениями функции $y = -2x^2$ в точках $x_1 = 91$ и $x_2 = 19$.

Схематический график функции $y = -2x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0,0), ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент $a=-2 < 0$).

Для параболы, ветви которой направлены вниз, значение функции тем меньше (более отрицательно), чем дальше абсцисса точки находится от вершины (от нуля). Сравним расстояния от точек $x_1 = 91$ и $x_2 = 19$ до нуля: $|91| = 91$ и $|19| = 19$.

Поскольку $91 > 19$, точка $x_1 = 91$ находится дальше от нуля, чем точка $x_2 = 19$. Следовательно, значение функции в этой точке будет меньше.

Таким образом, $-2 \cdot 91^2 < -2 \cdot 19^2$.

Ответ: $-2 \cdot 91^2 < -2 \cdot 19^2$.

в) Сравним значения выражений $-4 \cdot 1,5^2$ и $-4 \cdot (-1,5)^2$.

Оба выражения являются значениями функции $y = -4x^2$ в точках $x_1 = 1,5$ и $x_2 = -1,5$.

График функции $y = -4x^2$ — это парабола, симметричная относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что для любого значения $x$ выполняется равенство $f(x) = f(-x)$.

В нашем случае мы сравниваем значения функции в противоположных точках $x=1,5$ и $x=-1,5$. Из свойства четности функции $y=ax^2$ следует, что значения в этих точках равны.

Действительно, $(-1,5)^2 = 1,5^2 = 2,25$, поэтому $-4 \cdot 1,5^2 = -4 \cdot (-1,5)^2$.

Ответ: $-4 \cdot 1,5^2 = -4 \cdot (-1,5)^2$.

г) Сравним значения выражений $0,5 \cdot 25^2$ и $0,5 \cdot 45^2$.

Оба выражения являются значениями функции $y = 0,5x^2$ в точках $x_1 = 25$ и $x_2 = 45$.

Схематический график функции $y = 0,5x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0,0), ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент $a=0,5 > 0$).

На промежутке $(0; +\infty)$ функция $y = 0,5x^2$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Мы сравниваем значения функции в точках $x_1 = 25$ и $x_2 = 45$. Так как обе точки положительны и $45 > 25$, то значение функции в точке $x_2=45$ будет больше, чем в точке $x_1=25$.

Таким образом, $0,5 \cdot 25^2 < 0,5 \cdot 45^2$.

Ответ: $0,5 \cdot 25^2 < 0,5 \cdot 45^2$.

226 Укажите координаты какой-либо точки графика функции

$y = 20x^2$, расположенной:

а) выше прямой $y = 1000$;

б) ниже прямой $y = 800$;

в) выше прямой $y = 1200$ и ниже прямой $y = 1500$.

а)

Требуется найти координаты точки $(x, y)$, принадлежащей графику функции $y = 20x^2$ и расположенной выше прямой $y = 1000$. Это условие можно записать в виде неравенства $y > 1000$.

Подставим в это неравенство выражение для $y$ из уравнения функции: $20x^2 > 1000$

Чтобы найти подходящие значения $x$, решим это неравенство. Разделим обе части на 20: $x^2 > \frac{1000}{20}$ $x^2 > 50$

Нужно выбрать любое число $x$, квадрат которого больше 50. Например, возьмем $x = 10$. Квадрат этого числа $x^2 = 10^2 = 100$, что удовлетворяет условию $100 > 50$.

Теперь вычислим соответствующую ординату $y$, подставив $x = 10$ в исходное уравнение функции: $y = 20 \cdot 10^2 = 20 \cdot 100 = 2000$.

Проверим, что найденная точка удовлетворяет условию $y > 1000$: $2000 > 1000$. Условие выполняется.

Ответ: $(10, 2000)$.

б)

Нужно найти координаты точки $(x, y)$ на графике функции $y = 20x^2$, которая расположена ниже прямой $y = 800$. Это означает, что ордината точки должна быть меньше 800, то есть $y < 800$.

Запишем соответствующее неравенство, подставив $y = 20x^2$: $20x^2 < 800$

Решим это неравенство относительно $x$. Разделим обе части на 20: $x^2 < \frac{800}{20}$ $x^2 < 40$

Выберем любое значение $x$, квадрат которого меньше 40. Например, возьмем $x = 5$. Его квадрат $x^2 = 5^2 = 25$, что удовлетворяет условию $25 < 40$.

Найдем соответствующее значение $y$: $y = 20 \cdot 5^2 = 20 \cdot 25 = 500$.

Проверим выполнение условия $y < 800$: $500 < 800$. Условие выполняется.

Ответ: $(5, 500)$.

в)

Требуется найти координаты точки $(x, y)$ на графике функции $y = 20x^2$, которая находится выше прямой $y = 1200$ и ниже прямой $y = 1500$. Это условие можно записать в виде двойного неравенства: $1200 < y < 1500$.

Подставим $y = 20x^2$ в это неравенство: $1200 < 20x^2 < 1500$

Для нахождения $x$ решим это двойное неравенство. Разделим все его части на 20: $\frac{1200}{20} < x^2 < \frac{1500}{20}$ $60 < x^2 < 75$

Нам нужно найти такое значение $x$, чтобы его квадрат лежал в интервале от 60 до 75. Проверим квадраты целых чисел: $7^2=49$ (не подходит), $8^2=64$ (подходит, так как $60 < 64 < 75$), $9^2=81$ (не подходит). Выберем $x = 8$.

Вычислим соответствующую ординату $y$: $y = 20 \cdot 8^2 = 20 \cdot 64 = 1280$.

Проверим, удовлетворяет ли найденная точка исходному условию $1200 < y < 1500$: $1200 < 1280 < 1500$. Условие выполняется.

Ответ: $(8, 1280)$.

227 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

Длина окружности $l$ вычисляется по формуле $l = 2\pi r$, а площадь круга $S$ — по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус. Постройте график зависимости:

а) длины окружности от радиуса;

б) площади круга от радиуса. (Считайте, что $\pi \approx 3$.)

а) длины окружности от радиуса;

Зависимость длины окружности $l$ от ее радиуса $r$ выражается формулой $l = 2\pi r$.

В условии задачи дано приближенное значение $\pi \approx 3$. Подставим его в формулу:

$l = 2 \cdot 3 \cdot r$

$l = 6r$

Мы получили функцию $l(r) = 6r$. Это функция прямой пропорциональности, её график — прямая линия, проходящая через начало координат. В качестве независимой переменной (аргумента) выступает радиус $r$, а в качестве зависимой переменной (функции) — длина окружности $l$.

Поскольку радиус не может быть отрицательной величиной ($r \ge 0$), то график будет расположен только в первой координатной четверти и будет представлять собой луч, выходящий из начала координат.

Для построения графика достаточно найти координаты двух точек. Одну точку мы уже знаем — это начало координат (0; 0).

Найдем вторую точку, взяв произвольное положительное значение $r$, например, $r=2$:

$l = 6 \cdot 2 = 12$

Получаем точку с координатами (2; 12).

Теперь можно построить график: на оси абсцисс откладываем значения радиуса $r$, а на оси ординат — значения длины окружности $l$. Отмечаем точки (0; 0) и (2; 12) и проводим через них луч, начинающийся в точке (0; 0).

Ответ: График зависимости длины окружности от радиуса — это луч, выходящий из начала координат (0; 0) и проходящий через точку (2; 12). Функция зависимости: $l = 6r$.

б) площади круга от радиуса.

Зависимость площади круга $S$ от его радиуса $r$ выражается формулой $S = \pi r^2$.

Используя приближение $\pi \approx 3$, получаем формулу:

$S = 3r^2$

Мы получили функцию $S(r) = 3r^2$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $r^2$ (равный 3) положительный, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат (0; 0), так как при $r=0$, $S=0$.

Как и в предыдущем пункте, радиус не может быть отрицательным ($r \ge 0$), поэтому мы будем строить только правую ветвь параболы, расположенную в первой координатной четверти.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, подставляя различные значения $r$ в формулу $S = 3r^2$:

При $r=0$, $S = 3 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0; 0).

При $r=1$, $S = 3 \cdot 1^2 = 3$. Точка (1; 3).

При $r=2$, $S = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$. Точка (2; 12).

При $r=3$, $S = 3 \cdot 3^2 = 3 \cdot 9 = 27$. Точка (3; 27).

На координатной плоскости откладываем по оси абсцисс радиус $r$, а по оси ординат — площадь $S$. Отмечаем вычисленные точки (0; 0), (1; 3), (2; 12), (3; 27) и соединяем их плавной кривой.

Ответ: График зависимости площади круга от радиуса — это ветвь параболы с вершиной в начале координат (0; 0), проходящая через точки (1; 3) и (2; 12). Функция зависимости: $S = 3r^2$.

228 Постройте график функции:

a) $y = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x \le 0 \\ 3x^2, & \text{если } x > 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ -x + 2, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Для каждой функции ответьте на вопрос: имеет ли функция наименьшее значение? наибольшее значение?

а)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x \le 0 \\ 3x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

1. Построение графика.
График данной функции состоит из двух частей.

Первая часть – это график функции $y = x + 3$ на промежутке $(-\infty, 0]$. Это линейная функция, её график – прямая линия. Для построения достаточно двух точек. Возьмем граничную точку $x = 0$ и еще одну точку из этого промежутка, например $x = -3$.
При $x = 0$, $y = 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$ принадлежит графику (изображается закрашенным кружком).
При $x = -3$, $y = -3 + 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$ также принадлежит графику.
Таким образом, для $x \le 0$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(0, 3)$ и проходящий через точку $(-3, 0)$.

Вторая часть – это график функции $y = 3x^2$ на промежутке $(0, +\infty)$. Это квадратичная функция, её график – парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Нам нужна только правая ветвь этой параболы, соответствующая $x > 0$.
Найдем значение функции в граничной точке $x=0$, чтобы понять, куда "подходит" график: $y = 3 \cdot 0^2 = 0$. Так как неравенство $x > 0$ строгое, точка $(0, 0)$ не принадлежит графику (она будет "выколотой" и изображается пустым кружком).
Возьмем контрольную точку из этого промежутка, например $x = 1$.
При $x = 1$, $y = 3 \cdot 1^2 = 3$. Точка $(1, 3)$ принадлежит графику.
Итоговый график состоит из луча и части параболы. В точке $x=0$ функция имеет разрыв.

2. Определение наименьшего и наибольшего значений.
Наименьшее значение: На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y = x+3$ не ограничена снизу, так как при $x \to -\infty$, значение $y$ также стремится к $-\infty$. Следовательно, вся функция не имеет наименьшего значения.

Наибольшее значение: На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y = 3x^2$ не ограничена сверху, так как при $x \to +\infty$, значение $y$ также стремится к $+\infty$. Следовательно, вся функция не имеет наибольшего значения.

Ответ: Функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

б)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0 \\ -x + 2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

1. Построение графика.
График данной функции состоит из двух частей.

Первая часть – это график функции $y = -2x^2$ на промежутке $(-\infty, 0)$. Это квадратичная функция, её график – парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Нам нужна только левая ветвь параболы для $x < 0$.
Найдем значение функции в граничной точке $x=0$: $y = -2 \cdot 0^2 = 0$. Так как неравенство $x < 0$ строгое, точка $(0, 0)$ не принадлежит графику (она будет "выколотой").
Возьмем контрольную точку из этого промежутка, например $x = -1$.
При $x = -1$, $y = -2 \cdot (-1)^2 = -2$. Точка $(-1, -2)$ принадлежит графику.

Вторая часть – это график функции $y = -x + 2$ на промежутке $[0, +\infty)$. Это линейная функция, её график – прямая линия. Возьмем граничную точку $x = 0$ и еще одну точку, например $x = 2$.
При $x = 0$, $y = -0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ принадлежит графику.
При $x = 2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(2, 0)$ принадлежит графику.
Таким образом, для $x \ge 0$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(0, 2)$ и проходящий через точку $(2, 0)$.
Итоговый график состоит из части параболы и луча. В точке $x=0$ функция имеет разрыв.

2. Определение наименьшего и наибольшего значений.
Наименьшее значение: На обоих промежутках, $(-\infty, 0)$ и $[0, +\infty)$, функция стремится к $-\infty$. При $x \to -\infty$, $y = -2x^2 \to -\infty$. При $x \to +\infty$, $y = -x+2 \to -\infty$. Следовательно, функция не ограничена снизу и не имеет наименьшего значения.

Наибольшее значение: Рассмотрим поведение функции на каждом из участков. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y = -2x^2$ принимает только отрицательные значения ($y < 0$), приближаясь к 0 при $x \to 0^-$. На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y = -x+2$ является убывающей. Ее наибольшее значение достигается в левой граничной точке, то есть при $x = 0$. Это значение равно $y(0) = -0 + 2 = 2$.
Сравнивая значения функции на обоих промежутках, видим, что наибольшее значение функции равно 2.

Ответ: Функция имеет наибольшее значение $y_{наиб.} = 2$, но не имеет наименьшего значения.