Номер 205, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Какую функцию называют квадратичной. Глава 2. Квадратичная функция - номер 205, страница 80.

205 Найдите на рисунке 2.2 график функции $y = g(x)$, где

$g(x) = -2x^2 + 8x - 6$.

1) Верно ли, что $g(2) > 0, g(-1) < 0, g(3.5) > 0$?

2) Укажите несколько значений x, при которых $g(x) > 0, g(x) < 0$.

Для решения задачи проанализируем заданную функцию $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как старший коэффициент $a = -2$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.
Найдем ординату вершины, подставив $x_v = 2$ в уравнение функции:
$y_v = g(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -2 \cdot 4 + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 2)$.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью $Ox$), решив уравнение $g(x) = 0$:
$-2x^2 + 8x - 6 = 0$
Для удобства разделим все члены уравнения на $-2$:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Корни этого уравнения легко находятся по теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Мы установили, что парабола $y = g(x)$ имеет ветви вниз и пересекает ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=3$. Это означает, что функция положительна ($g(x) > 0$) на интервале между корнями, то есть при $x \in (1, 3)$, и отрицательна ($g(x) < 0$) вне этого интервала, то есть при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

1) Верно ли, что $g(2) > 0, g(-1) < 0, g(3,5) > 0$?

Проверим справедливость каждого из трех неравенств, вычислив значение функции $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$ в указанных точках.

При $x=2$:
$g(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$.
Поскольку $2 > 0$, неравенство $g(2) > 0$ является верным.

При $x=-1$:
$g(-1) = -2(-1)^2 + 8(-1) - 6 = -2(1) - 8 - 6 = -16$.
Поскольку $-16 < 0$, неравенство $g(-1) < 0$ является верным.

При $x=3,5$:
$g(3,5) = -2(3,5)^2 + 8(3,5) - 6 = -2(12,25) + 28 - 6 = -24,5 + 22 = -2,5$.
Поскольку $-2,5 < 0$, неравенство $g(3,5) > 0$ является неверным.

Ответ: Утверждения $g(2) > 0$ и $g(-1) < 0$ верны, а утверждение $g(3,5) > 0$ — неверно.

2) Укажите несколько значений x, при которых $g(x) > 0$, $g(x) < 0$.

Основываясь на проведенном анализе знаков функции:
- Неравенство $g(x) > 0$ выполняется для любого $x$ из интервала $(1, 3)$. В качестве примера можно указать значения: $x = 1,5$, $x = 2$, $x = 2,5$.
- Неравенство $g(x) < 0$ выполняется для любого $x$ из объединения интервалов $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$. В качестве примера можно указать значения: $x = 0$, $x = -1$, $x = 4$.

Ответ: Примеры значений $x$, при которых $g(x) > 0$: $1,5; 2; 2,5$. Примеры значений $x$, при которых $g(x) < 0$: $0; -1; 4$.