номер 2, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Напоминание: функция $y = f(x)$ называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Функция называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Если хотя бы одно из условий не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной.

а) $f(x) = 3x^5 + 5x^3$

Решение:

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Данное множество симметрично относительно начала координат (нуля).
2. Подставим в функцию аргумент $-x$ вместо $x$ и преобразуем выражение: $$f(-x) = 3(-x)^5 + 5(-x)^3 = 3 \cdot (-x^5) + 5 \cdot (-x^3) = -3x^5 - 5x^3$$ Вынесем знак «минус» за скобки: $$f(-x) = -(3x^5 + 5x^3) = -f(x)$$ Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.

б) $f(x) = -\frac{2}{x^4}$

Решение:

1. Область определения: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $x^4 \neq 0 \implies x \neq 0$. Значит, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Данная область симметрична относительно нуля.
2. Проверим значение функции при аргументе $-x$: $$f(-x) = -\frac{2}{(-x)^4} = -\frac{2}{x^4} = f(x)$$ Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.

в) $f(x) = \sqrt{2x + 1}$

Решение:

1. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$2x + 1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -0{,}5$$ Значит, $D(f) = [-0{,}5; +\infty)$.
2. Область определения функции не является симметричной относительно нуля. Например, при $x = 1$ значение функции существует ($1 \in D(f)$), а противоположное число $x = -1$ не принадлежит области определения ($-1 \notin D(f)$), так как под корнем получается отрицательное число $\sqrt{2 \cdot (-1) + 1} = \sqrt{-1}$.
Следовательно, условие чётности или нечётности не может выполняться.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).