Номер 7.8, страница 38 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

VII. Квантовые явления - номер 7.8, страница 38.

Условие.

7.8 Рентгеновская трубка, находящаяся под напряжением 4 кВ, при силе тока 1,5 мА излучает $3 \cdot 10^{13}$ фотонов в секунду. Определите КПД трубки, если в среднем длина волны, излучаемая трубкой, составляет 1,0 нм.

Решение.

Дано:

Напряжение на рентгеновской трубке: $U = 4 \text{ кВ}$

Сила тока: $I = 1.5 \text{ мА}$

Число фотонов, излучаемых в секунду: $\frac{N}{t} = 3 \cdot 10^{13} \text{ с⁻¹}$

Средняя длина волны излучения: $\lambda = 1.0 \text{ нм}$

Постоянная Планка: $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

$U = 4 \cdot 10^3 \text{ В}$

$I = 1.5 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

$\lambda = 1.0 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

КПД трубки $\eta$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) рентгеновской трубки определяется как отношение полезной мощности $P_{полезная}$ (мощности рентгеновского излучения) к затраченной электрической мощности $P_{затраченная}$.

$\eta = \frac{P_{полезная}}{P_{затраченная}}$

Затраченная электрическая мощность вычисляется по формуле:

$P_{затраченная} = U \cdot I$

Полезная мощность — это мощность излучаемых фотонов. Она равна энергии одного фотона $E_ф$, умноженной на количество фотонов, излучаемых в единицу времени $\frac{N}{t}$:

$P_{полезная} = E_ф \cdot \frac{N}{t}$

Энергия одного фотона связана с длиной волны излучения $\lambda$ соотношением:

$E_ф = \frac{hc}{\lambda}$

где $h$ — постоянная Планка, $c$ — скорость света в вакууме.

Подставив выражение для энергии фотона в формулу для полезной мощности, получим:

$P_{полезная} = \frac{hc}{\lambda} \cdot \frac{N}{t}$

Теперь можем записать итоговую формулу для КПД:

$\eta = \frac{\frac{hc}{\lambda} \cdot \frac{N}{t}}{U \cdot I}$

Произведем вычисления, подставив числовые значения в систему СИ.

Вычислим затраченную мощность:

$P_{затраченная} = 4 \cdot 10^3 \text{ В} \cdot 1.5 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 6 \text{ Вт}$

Вычислим полезную мощность:

$P_{полезная} = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1.0 \cdot 10^{-9} \text{ м}} \cdot 3 \cdot 10^{13} \text{ с⁻¹} \approx 19.89 \cdot 10^{-17} \text{ Дж} \cdot 3 \cdot 10^{13} \text{ с⁻¹} \approx 59.67 \cdot 10^{-4} \text{ Вт} \approx 0.00597 \text{ Вт}$

Вычислим КПД:

$\eta = \frac{0.00597 \text{ Вт}}{6 \text{ Вт}} \approx 0.000995$

Выразим КПД в процентах:

$\eta = 0.000995 \cdot 100\% \approx 0.0995\% \approx 0.1\%$

Ответ: КПД трубки составляет примерно 0.1%.