Номер 2, страница 74, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 1. Основы кинематики. Параграф 16. Лабораторные и исследовательские работы. Темы исследовательских и проектных работ - номер 2, страница 74.

Условие.

• Система координат для атома.

Решение.

Система координат для атома.

Для описания положения и движения частиц в атоме (в частности, электронов относительно ядра) используется система координат. Хотя для этого можно применить привычную декартову (прямоугольную) систему координат ($x, y, z$), она оказывается неудобной для решения задач атомной физики. Наиболее подходящей и общепринятой является сферическая система координат.

Выбор сферической системы координат обусловлен симметрией основной силы, действующей в атоме, — кулоновской силы притяжения между ядром и электронами. Потенциальная энергия электрона в поле ядра является центрально-симметричной, то есть зависит только от расстояния до ядра ($\text{r}$), а не от направления. Это свойство, $U = U(r)$, значительно упрощает математическое описание системы.

Сферическая система координат определяет положение точки в пространстве тремя величинами:

• $\text{r}$ — радиальное расстояние, то есть расстояние от начала координат (где расположено ядро) до рассматриваемой точки (электрона). Диапазон значений: $r \in [0, \infty)$.
• $\theta$ — полярный (зенитный) угол, угол между положительным направлением оси $\text{z}$ и радиус-вектором, проведенным в точку. Диапазон значений: $\theta \in [0, \pi]$.
• $\phi$ — азимутальный угол, угол между проекцией радиус-вектора на плоскость $xy$ и положительным направлением оси $\text{x}$. Диапазон значений: $\phi \in [0, 2\pi)$.

Связь между декартовыми ($x, y, z$) и сферическими ($r, \theta, \phi$) координатами задается следующими формулами:

$x = r \sin\theta \cos\phi$

$y = r \sin\theta \sin\phi$

$z = r \cos\theta$

Ключевое преимущество сферических координат проявляется в квантовой механике при решении уравнения Шрёдингера для атома. Для стационарных состояний оно имеет вид $\hat{H}\Psi = E\Psi$, где $\hat{H}$ — оператор Гамильтона (полной энергии), $\Psi$ — волновая функция, $\text{E}$ — энергия состояния. Гамильтониан для водородоподобного атома включает в себя оператор Лапласа $\nabla^2$. В сферических координатах этот оператор имеет вид, который позволяет разделить переменные.

Благодаря сферической симметрии потенциала, волновую функцию можно представить в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одной координаты:

$\Psi(r, \theta, \phi) = R(r) \cdot \Theta(\theta) \cdot \Phi(\phi)$

Такой подход (метод разделения переменных) позволяет свести одно сложное уравнение в частных производных к трем более простым обыкновенным дифференциальным уравнениям. Решение этих уравнений естественным образом приводит к появлению трех целых чисел, называемых квантовыми числами:

• главное квантовое число $\text{n}$ (из радиального уравнения), определяет энергию электрона;
• орбитальное (азимутальное) квантовое число $\text{l}$ (из уравнения для полярного угла $\theta$), определяет величину момента импульса электрона (форму орбитали);
• магнитное квантовое число $m_l$ (из уравнения для азимутального угла $\phi$), определяет проекцию момента импульса на ось $\text{z}$ (ориентацию орбитали в пространстве).

Таким образом, использование сферической системы координат не только упрощает решение основной задачи квантовой механики для атома, но и дает естественную основу для классификации состояний электронов.

Ответ: Для описания атома наиболее удобной является сферическая система координат ($r, \theta, \phi$), поскольку потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром обладает сферической симметрией (зависит только от расстояния $\text{r}$). Это позволяет упростить решение уравнения Шрёдингера методом разделения переменных и естественным образом ввести квантовые числа ($n, l, m_l$), характеризующие состояние электрона.