Номер ?1, страница 74, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 1. Основы кинематики. Параграф 16. Лабораторные и исследовательские работы. Вопросы для обсуждения - номер ?1, страница 74.

Условие.

Может ли мгновенная скорость быть равной средней скорости?

Решение.

Может ли мгновенная скорость быть равной средней скорости?

Да, мгновенная скорость может быть равной средней скорости. Это происходит как в простейшем случае равномерного движения, так и при неравномерном движении.

Для начала дадим определения этим понятиям.

• Средняя скорость (или средняя скорость перемещения) — это векторная величина, равная отношению вектора перемещения ко времени, за которое это перемещение совершено: $\vec{v}_{ср} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$.
• Мгновенная скорость — это скорость тела в данный момент времени. Это векторная величина, являющаяся производной радиус-вектора по времени: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$. Направление вектора мгновенной скорости всегда совпадает с касательной к траектории движения в данной точке.

Рассмотрим два основных случая:

1. Равномерное прямолинейное движение.
При таком движении скорость тела постоянна по величине и направлению в любой момент времени. Это означает, что мгновенная скорость $\vec{v}$ не меняется. Средняя скорость $\vec{v}_{ср}$ за любой промежуток времени $\Delta t$ будет равна этому же постоянному значению, так как перемещение $\Delta \vec{r} = \vec{v} \cdot \Delta t$, и следовательно $\vec{v}_{ср} = \frac{\vec{v} \cdot \Delta t}{\Delta t} = \vec{v}$.
Пример: Если автомобиль едет по прямой дороге со скоростью 60 км/ч, не разгоняясь и не тормозя, то его мгновенная скорость в любую секунду равна 60 км/ч, и его средняя скорость за любой отрезок времени также будет равна 60 км/ч.В этом случае мгновенная скорость всегда равна средней скорости.

2. Неравномерное движение.
При неравномерном движении мгновенная скорость тела меняется с течением времени. Однако и в этом случае существуют моменты времени, когда мгновенная скорость равна средней скорости на некотором интервале. Это строго доказывается теоремой Лагранжа о среднем значении в математическом анализе. Если функция скорости $v(t)$ непрерывна, то обязательно найдётся такой момент времени, в который мгновенная скорость будет равна средней скорости на всём отрезке движения.
Пример: Автомобиль стартует из состояния покоя и разгоняется. Допустим, за 10 секунд он проехал 100 метров. Его средняя скорость на этом участке составит $v_{ср} = \frac{100 \text{ м}}{10 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$. В начале движения его мгновенная скорость была $0 \text{ м/с}$. Чтобы средняя скорость составила $10 \text{ м/с}$, в конце пути его мгновенная скорость должна быть больше $10 \text{ м/с}$. Поскольку скорость изменялась непрерывно от значения меньше $10 \text{ м/с}$ до значения больше $10 \text{ м/с}$, обязательно был момент времени, когда она была в точности равна $10 \text{ м/с}$.

Таким образом, равенство мгновенной и средней скоростей возможно как при равномерном, так и при неравномерном движении.

Ответ: Да, может. При равномерном прямолинейном движении мгновенная скорость всегда равна средней скорости. При любом непрерывном движении на заданном отрезке времени всегда найдется хотя бы один момент, когда мгновенная скорость тела равна его средней скорости на этом отрезке.