Номер 1, страница 74, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 1. Основы кинематики. Параграф 16. Лабораторные и исследовательские работы. Темы исследовательских и проектных работ - номер 1, страница 74.

Условие.

• Системы координат для описания движения.

Решение.

Для описания механического движения, то есть изменения положения тела в пространстве с течением времени, необходимо выбрать систему отсчета. Система отсчета состоит из тела отсчета (точки или тела, относительно которого рассматривается движение), связанной с ним системы координат и прибора для измерения времени (часов). Системы координат служат для однозначного определения положения точки в пространстве в любой момент времени. Выбор конкретной системы координат зависит от характера движения и симметрии задачи, и удачный выбор может значительно упростить решение.

Прямоугольная (декартова) система координат

Это наиболее распространенная система координат. В трехмерном пространстве она состоит из точки начала отсчета (начала координат) $\text{O}$ и трех взаимно перпендикулярных осей: оси абсцисс ($Ox$), оси ординат ($Oy$) и оси аппликат ($Oz$). Положение любой точки $\text{M}$ в пространстве определяется тремя числами — ее координатами $(x, y, z)$. Движение точки описывается зависимостью ее координат от времени: $x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$. Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения. Положение точки можно также задать с помощью радиус-вектора $\vec{r}$, проведенного из начала координат в данную точку. В декартовой системе координат радиус-вектор выражается через единичные векторы (орты) $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$, направленные вдоль осей $Ox, Oy, Oz$ соответственно:
$\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$
На плоскости (двумерный случай) используется две оси ($Ox, Oy$) и две координаты $(x, y)$. При движении вдоль прямой (одномерный случай) достаточно одной оси и одной координаты $\text{x}$.

Ответ: Прямоугольная (декартова) система координат определяет положение точки с помощью трех взаимно перпендикулярных осей и соответствующих координат $(x, y, z)$, являющихся функциями времени при движении.

Полярная система координат

Эта система используется для описания движения на плоскости, особенно когда движение имеет центр симметрии (например, вращательное или движение по окружности). Положение точки $\text{M}$ на плоскости определяется двумя числами:
1. Полярным радиусом $\text{r}$ (или $\rho$) — расстоянием от неподвижной точки $\text{O}$, называемой полюсом, до точки $\text{M}$.
2. Полярным углом $\varphi$ — углом между неподвижным лучом (полярной осью), выходящим из полюса, и отрезком $OM$. Угол отсчитывается против часовой стрелки.
Связь с декартовыми координатами $(x, y)$, если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось — с осью $Ox$, задается формулами:
$x = r \cos \varphi$
$y = r \sin \varphi$
Движение в этой системе описывается зависимостями $r=r(t)$ и $\varphi=\varphi(t)$.

Ответ: Полярная система координат на плоскости определяет положение точки с помощью расстояния до полюса (полярный радиус $\text{r}$) и угла относительно полярной оси (полярный угол $\varphi$). Она удобна для описания движений с центральной симметрией.

Цилиндрическая система координат

Цилиндрическая система является обобщением полярной системы на трехмерное пространство. Положение точки $\text{M}$ в пространстве задается тремя координатами $(\rho, \varphi, z)$:
1. $\rho$ — расстояние от оси $Oz$ до точки $\text{M}$ (аналог полярного радиуса).
2. $\varphi$ — азимутальный угол, который составляет проекция радиус-вектора точки на плоскость $Oxy$ с осью $Ox$ (аналог полярного угла).
3. $\text{z}$ — аппликата, то есть координата точки вдоль оси $Oz$ (как в декартовой системе).
Связь с декартовыми координатами:
$x = \rho \cos \varphi$
$y = \rho \sin \varphi$
$z = z$
Эта система удобна для описания движений, обладающих осевой симметрией, например, движение по винтовой линии.

Ответ: Цилиндрическая система координат в пространстве определяет положение точки с помощью полярных координат $(\rho, \varphi)$ ее проекции на плоскость и третьей декартовой координаты $\text{z}$. Она эффективна для задач с осевой симметрией.

Сферическая система координат

Сферическая система также используется в трехмерном пространстве и удобна для описания движений с центральной (сферической) симметрией, например, движение планет или спутников. Положение точки $\text{M}$ задается тройкой чисел $(r, \theta, \varphi)$:
1. $\text{r}$ — расстояние от начала координат $\text{O}$ до точки $\text{M}$ (радиальное расстояние).
2. $\theta$ — полярный или зенитный угол, угол между радиус-вектором $\vec{r}$ и осью $Oz$ ($0 \le \theta \le \pi$).
3. $\varphi$ — азимутальный угол, угол между проекцией радиус-вектора на плоскость $Oxy$ и осью $Ox$ ($0 \le \varphi < 2\pi$).
Связь с декартовыми координатами:
$x = r \sin \theta \cos \varphi$
$y = r \sin \theta \sin \varphi$
$z = r \cos \theta$
Эта система широко применяется в астрономии, физике и математике.

Ответ: Сферическая система координат в пространстве определяет положение точки с помощью расстояния до начала координат $\text{r}$, полярного угла $\theta$ и азимутального угла $\varphi$. Она идеальна для задач со сферической симметрией.

Естественный способ описания движения

Этот способ применяется, когда траектория движения точки известна. Положение точки на траектории задается одной координатой — длиной дуги $\text{s}$, отсчитываемой от некоторой начальной точки $\text{O}$ на траектории до текущего положения точки $\text{M}$. Таким образом, движение описывается одним уравнением $s=s(t)$, которое называется законом движения точки по траектории.
Для описания кинематических характеристик (скорости, ускорения) используется связанная с точкой подвижная система координат, называемая естественным трехгранником (или трехгранником Френе). Он состоит из трех взаимно перпендикулярных единичных векторов:
- $\vec{\tau}$ — касательный (тангенциальный) вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения.
- $\vec{n}$ — вектор главной нормали, направленный к центру кривизны траектории.
- $\vec{b}$ — вектор бинормали, перпендикулярный первым двум ($\vec{b} = [\vec{\tau} \times \vec{n}]$).
В этой системе вектор скорости всегда направлен вдоль касательной: $\vec{v} = v \vec{\tau}$, где $v = \frac{ds}{dt}$. Вектор ускорения раскладывается на две составляющие: касательное (тангенциальное) ускорение $a_{\tau}$, характеризующее изменение модуля скорости, и нормальное (центростремительное) ускорение $a_n$, характеризующее изменение направления скорости: $\vec{a} = a_{\tau}\vec{\tau} + a_n\vec{n}$, где $a_{\tau} = \frac{dv}{dt}$ и $a_n = \frac{v^2}{R}$ ($\text{R}$ — радиус кривизны траектории).

Ответ: Естественный способ описания движения используется при известной траектории, где положение точки задается длиной дуги $s=s(t)$. Для анализа скорости и ускорения применяется подвижный естественный трехгранник, состоящий из касательного, нормального и бинормального векторов.