Движения водяных струй, страница 70, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 1. Основы кинематики. Параграф 16. Лабораторные и исследовательские работы. Практические работы-исследование - страница 70.

Условие.

ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВОДЯНЫХ СТРУЙ, НАПРАВЛЕННЫХ ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ

При одном и том же значении начальной скорости $v_0$ дальность полёта тела (или капелек водяной струи) зависит от значений проекций $v_{0x}$ и $v_{0y}$. Значения самих проекций зависят от угла $\alpha$, под которым в начальном положении струя направлена к горизонту. В данной работе определим угол, при котором дальность полёта водяной струи максимальна.

Цель работы

Исследовать зависимость расстояния, на которое бьёт водяная струя, от угла наклона сопла к горизонту.

Помощник

• В качестве оборудования можно использовать сосуд с водой, гибкий шланг диаметром 8—10 мм и длиной 3—3,5 м, сопло с сужением на конце, зажим для регулировки скорости истечения воды, штатив, поддоны для сбора воды, рулетку, транспортир демонстрационный. В качестве сосуда удобно использовать пластиковую канистру для воды объёмом 5—6 л.

• Установите сосуд с водой на высоте примерно 2—2,5 м от уровня пола. Соберите установку согласно приведённому рисунку.

• С помощью транспортира установите нужный угол наклона $\alpha$ сопла.

• С помощью зажима отрегулируйте скорость истечения воды из сопла.

• Измерьте дальность $\text{l}$ полёта водяной струи для углов 15°, 30°, 45°, 60°.

• Результаты измерений и вычислений запишите в таблицу в своей тетради.

№ опыта	$\alpha$, град	$\text{l}$, м

• Изменяя высоту, на которой установлен сосуд с водой, исследуйте, как дальность полёта водяной струи зависит от скорости её истечения.

• Сделайте выводы.

Решение.

Цель работы: Исследовать зависимость расстояния, на которое бьёт водяная струя, от угла наклона сопла к горизонту.

Для выполнения данной работы необходимо теоретически обосновать движение водяной струи и предсказать результаты измерений, которые должны быть получены в ходе эксперимента.

Теоретическое обоснование

Движение капелек воды в струе можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, это движение можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали (ось Ox) и равноускоренное по вертикали (ось Oy) с ускорением свободного падения $\text{g}$, направленным вниз.

Пусть начальная скорость струи равна $v_0$, а угол наклона сопла к горизонту — $\alpha$. Тогда проекции начальной скорости на оси координат будут:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Координаты капельки воды в любой момент времени $\text{t}$ описываются уравнениями:

$x(t) = v_{0x} t = v_0 \cos(\alpha) t$

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Дальность полёта $\text{l}$ — это горизонтальное расстояние, которое пролетит струя до падения на первоначальную высоту ($y=0$). Для нахождения дальности полёта сначала определим полное время полёта $\text{T}$. В конце полёта $y(T) = 0$:

$v_0 \sin(\alpha) T - \frac{gT^2}{2} = 0$

$T(v_0 \sin(\alpha) - \frac{gT}{2}) = 0$

Так как нас интересует время полёта, а не начальный момент ($T \neq 0$), получаем:

$T = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Теперь подставим время полёта $\text{T}$ в уравнение для координаты $\text{x}$:

$l = x(T) = v_0 \cos(\alpha) \cdot T = v_0 \cos(\alpha) \cdot \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g}$

Используя тригонометрическую формулу двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $, получаем окончательную формулу для дальности полёта:

$l = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Из этой формулы видно, что при постоянной начальной скорости $v_0$ дальность полёта $\text{l}$ зависит от синуса удвоенного угла наклона $\alpha$. Максимальная дальность полёта достигается, когда $\sin(2\alpha)$ принимает максимальное значение, равное 1. Это происходит при $2\alpha = 90^\circ$, то есть при $\alpha = 45^\circ$.

Ответ: Теоретическая зависимость дальности полёта струи $\text{l}$ от угла наклона $\alpha$ при постоянной начальной скорости $v_0$ выражается формулой $l = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$. Дальность максимальна при угле $45^\circ$.

Результаты измерений и вычислений (Ожидаемые)

В ходе эксперимента измеряется дальность полёта $\text{l}$ для углов $15^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$. Начальная скорость $v_0$ поддерживается постоянной за счёт неизменного уровня воды в сосуде-источнике и фиксированного положения зажима.

Предположим, что в результате эксперимента при угле $45^\circ$ была получена максимальная дальность полёта, например, $l_{max} = 2.4$ м. Используя теоретическую формулу, можно рассчитать ожидаемые значения дальности для других углов.

$l(\alpha) = l_{max} \cdot \sin(2\alpha)$

• При $\alpha = 15^\circ$: $l = 2.4 \cdot \sin(30^\circ) = 2.4 \cdot 0.5 = 1.2$ м.
• При $\alpha = 30^\circ$: $l = 2.4 \cdot \sin(60^\circ) = 2.4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.4 \cdot 0.866 \approx 2.08$ м.
• При $\alpha = 45^\circ$: $l = 2.4 \cdot \sin(90^\circ) = 2.4 \cdot 1 = 2.4$ м.
• При $\alpha = 60^\circ$: $l = 2.4 \cdot \sin(120^\circ) = 2.4 \cdot \sin(60^\circ) \approx 2.08$ м.

Заполним таблицу ожидаемыми результатами:

№ опыта	α, град	l, м
1	15	1.20
2	30	2.08
3	45	2.40
4	60	2.08

Из таблицы видно, что дальность полёта увеличивается при увеличении угла от 15° до 45°, достигает максимума при 45°, а затем уменьшается. Также дальности полёта для углов $30^\circ$ и $60^\circ$ (симметричных относительно $45^\circ$) должны быть примерно одинаковыми.

Ответ: Ожидается, что дальность полёта будет максимальной при угле $45^\circ$. Дальности полёта для углов, симметричных относительно $45^\circ$ (например, $30^\circ$ и $60^\circ$), будут равны.

Исследование зависимости дальности полёта от скорости истечения

Согласно условию, далее необходимо исследовать, как дальность полёта зависит от скорости истечения, изменяя высоту, на которой установлен сосуд с водой.

Скорость истечения жидкости из отверстия, согласно закону Торричелли, зависит от высоты столба жидкости $\text{h}$ над отверстием:

$v_0 = \sqrt{2gh}$

Здесь $\text{h}$ — это разность высот между уровнем воды в сосуде-источнике и соплом. Подставив это выражение для $v_0$ в формулу для дальности полёта, получим:

$l = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{(\sqrt{2gh})^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{2gh \sin(2\alpha)}{g} = 2h \sin(2\alpha)$

Из полученной зависимости $l = 2h \sin(2\alpha)$ следует, что при фиксированном угле наклона сопла $\alpha$ дальность полёта $\text{l}$ прямо пропорциональна высоте $\text{h}$.

Следовательно, увеличивая высоту сосуда с водой (тем самым увеличивая $\text{h}$ и начальную скорость $v_0$), мы будем наблюдать пропорциональное увеличение дальности полёта. Например, при увеличении высоты $\text{h}$ в 2 раза дальность полёта $\text{l}$ также должна увеличиться в 2 раза (при постоянном угле $\alpha$).

Ответ: Дальность полёта водяной струи прямо пропорциональна квадрату начальной скорости ($l \propto v_0^2$). Так как начальная скорость, в свою очередь, пропорциональна квадратному корню из высоты столба воды ($v_0 \propto \sqrt{h}$), то дальность полёта прямо пропорциональна высоте столба воды ($l \propto h$).

Выводы

По итогам проведённой лабораторной работы можно сделать следующие выводы:

1. Дальность полёта тела (водяной струи), брошенного под углом к горизонту, зависит от угла бросания $\alpha$ и начальной скорости $v_0$.
2. При постоянной начальной скорости дальность полёта максимальна при угле наклона к горизонту, равном $45^\circ$.
3. Дальности полёта одинаковы для двух углов бросания $\alpha_1$ и $\alpha_2$, если они симметричны относительно $45^\circ$, то есть $\alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ$ (в эксперименте это углы $30^\circ$ и $60^\circ$).
4. Дальность полёта увеличивается с ростом начальной скорости. Зависимость квадратичная: $l \propto v_0^2$.
5. Так как начальная скорость истечения струи определяется высотой столба воды $\text{h}$ над соплом ($v_0^2=2gh$), то дальность полёта прямо пропорциональна этой высоте: $l \propto h$.

Ответ: Дальность полёта водяной струи зависит от угла наклона и начальной скорости. Максимальная дальность достигается при угле $45^\circ$. Дальность прямо пропорциональна квадрату начальной скорости и высоте столба воды, создающего напор.