Бутылочный ксилофон, страница 30, часть 2 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 2. Глава 7. Звук. Параграф 69. Исследовательские работы. Практические работы-исследование - страница 30.

Условие.

БУТЫЛОЧНЫЙ КСИЛОФОН

На уроке физики, посвященном изучению звуковых волн, учитель попросил учащихся объяснить, почему при осторожном наливании воды в бутылку возникает звук, тон которого повышается по мере наполнения сосуда. Выслушав ответы учащихся, учитель объяснил наблюдаемое явление как результат колебаний воздушного столба в сосуде. При этом изменение тона звука обусловлено увеличением частоты колебаний, поскольку при повышении уровня воды происходит уменьшение длины воздушного столба в сосуде. На основе этого явления можно воспроизвести целый музыкальный звукоряд, используя несколько бутылок, в которые налито разное количество воды.

Изготовьте и вы простейший музыкальный инструмент — ксилофон и посмотрите, как он работает.

Научная справка

Если фортепианная струна совершает 261 колебание за одну секунду, в результате возникает звук частотой 261 Гц. Человеческое ухо воспринимает его как ноту до первой октавы. Нота ре обладает частотой 294 Гц, ми — 330 Гц, фа — 349 Гц, соль — 392 Гц, ля — 440 Гц, си — 494 Гц, а до следующей октавы имеет частоту 512 Гц.

До	Ре	Ми	Фа	Соль	Ля	Си	До
Октава

Для получения привычного нам звукоряда (до, ре, ми, фа, соль, ля, си) надо диапазон частот, приходящийся на октаву, поделить на 12 равных интервалов (полутонов). Тогда мы получим аналог чёрных и белых клавиш пианино. Отношение длин волн для нот, соответствующих белым клавишам, начиная с ноты до (первой октавы), равно соответственно $1 : \frac{8}{9} : \frac{4}{5} : \frac{3}{4} : \frac{2}{3} : \frac{3}{5} : \frac{8}{15}$.

Этапы выполнения задания

В качестве оборудования вам понадобятся семь одинаковых стеклянных бутылок (из-под лимонада, воды, сока или молока), вода, линейка, металлическая палочка, бумага, маркер, клей, фортепиано (при наличии).

Расставьте бутылки в ряд, подготовьте воду.

Наливая в бутылки нужное количество воды, можно изготовить из них аналог ксилофона или клавиш фортепиано одной октавы.

Первую бутылку оставьте пустой, она будет предназначена для извлечения звука, соответствующего первой ноте. Частота колебаний в этом случае будет зависеть как от материала, из которого изготовлена бутылка, так и от её высоты. Поэтому нельзя утверждать, что звук, издаваемый этой бутылкой, соответствует именно ноте до первой октавы.

Налейте воду во вторую бутылку так, чтобы отношение длины воздушного столба над водой к длине воздушного столба в пустой бутылке было $8/9$, что соответствует второй ноте.

Аналогично наполните оставшиеся бутылки в соотношениях, указанных выше (используйте линейку).

Используя маркер, бумагу, клей, промаркируйте бутылки, указав соответствующую ноту.

Если в вашем распоряжении есть фортепиано и вы обладаете музыкальным слухом, то можно провести более тонкую настройку созданного вами ксилофона, добавляя или отливая воду из бутылок.

Испытайте полученный музыкальный инструмент.

Решение.

В основе данного явления лежит акустический резонанс. Звук возникает из-за колебаний столба воздуха внутри бутылки, когда в неё дуют. Бутылка с водой ведёт себя как резонатор Гельмгольца, или, в упрощённом виде, как труба, закрытая с одного конца (поверхностью воды). Частота основного тона (самого низкого звука), который может издавать такая труба, обратно пропорциональна длине столба воздуха. Это описывается формулой:

$f \approx \frac{v}{4L}$

где $\text{f}$ — частота звука, $\text{v}$ — скорость звука в воздухе, а $\text{L}$ — длина столба воздуха. Из формулы видно, что чем короче столб воздуха $\text{L}$ (т.е. чем больше воды в бутылке), тем выше частота $\text{f}$ и, следовательно, выше тон звука.

Длина волны $\lambda$ связана с частотой и скоростью звука соотношением $\lambda = v/f$. Подставив сюда выражение для частоты, получим $\lambda \approx 4L$. Это означает, что длина волны основного тона прямо пропорциональна длине столба воздуха. Следовательно, соотношения длин волн для разных нот будут такими же, как и соотношения длин воздушных столбов, необходимых для извлечения этих нот.

Задача состоит в том, чтобы, используя заданные соотношения длин волн, рассчитать, какой высоты должен быть столб воздуха в каждой из семи бутылок для получения гаммы.

Дано:

Имеется 7 одинаковых бутылок.

Первая бутылка (нота "До") пустая. Обозначим длину воздушного столба в ней как $L_1$.

Отношение длин волн $\lambda$ для нот гаммы (До, Ре, Ми, Фа, Соль, Ля, Си) к длине волны первой ноты "До":

$\lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3 : \lambda_4 : \lambda_5 : \lambda_6 : \lambda_7 = 1 : \frac{8}{9} : \frac{4}{5} : \frac{3}{4} : \frac{2}{3} : \frac{3}{5} : \frac{8}{15}$

Найти:

Длины воздушных столбов $L_2, L_3, L_4, L_5, L_6, L_7$ для нот Ре, Ми, Фа, Соль, Ля, Си, выраженные через длину $L_1$.

Решение:

Поскольку длина воздушного столба $\text{L}$ прямо пропорциональна длине волны $\lambda$ ($L \propto \lambda$), то соотношения для длин воздушных столбов будут такими же, как и для длин волн.

$L_1 : L_2 : L_3 : L_4 : L_5 : L_6 : L_7 = 1 : \frac{8}{9} : \frac{4}{5} : \frac{3}{4} : \frac{2}{3} : \frac{3}{5} : \frac{8}{15}$

Примем длину воздушного столба в первой (пустой) бутылке за эталон ($L_1 = L_{До}$). Тогда длины воздушных столбов для остальных нот будут составлять указанную долю от $L_1$.

• Нота До: Бутылка пустая. Длина воздушного столба равна $L_1$.
• Нота Ре: Длина воздушного столба $L_2$ (или $L_{Ре}$) должна составлять $\frac{8}{9}$ от длины $L_1$.
  $L_{Ре} = \frac{8}{9} L_{До}$
• Нота Ми: Длина воздушного столба $L_3$ ($L_{Ми}$) должна составлять $\frac{4}{5}$ от длины $L_1$.
  $L_{Ми} = \frac{4}{5} L_{До}$
• Нота Фа: Длина воздушного столба $L_4$ ($L_{Фа}$) должна составлять $\frac{3}{4}$ от длины $L_1$.
  $L_{Фа} = \frac{3}{4} L_{До}$
• Нота Соль: Длина воздушного столба $L_5$ ($L_{Соль}$) должна составлять $\frac{2}{3}$ от длины $L_1$.
  $L_{Соль} = \frac{2}{3} L_{До}$
• Нота Ля: Длина воздушного столба $L_6$ ($L_{Ля}$) должна составлять $\frac{3}{5}$ от длины $L_1$.
  $L_{Ля} = \frac{3}{5} L_{До}$
• Нота Си: Длина воздушного столба $L_7$ ($L_{Си}$) должна составлять $\frac{8}{15}$ от длины $L_1$.
  $L_{Си} = \frac{8}{15} L_{До}$

Для практической реализации необходимо измерить линейкой высоту воздушного столба в пустой бутылке ($L_1$) и затем, наливая воду, отмерять требуемую высоту воздуха для каждой следующей бутылки согласно вычисленным соотношениям.

Ответ: Для создания музыкального звукоряда необходимо оставить первую бутылку ("До") пустой, а в остальные налить воду так, чтобы высота оставшегося над водой столба воздуха ($\text{L}$) соотносилась с высотой столба воздуха в пустой бутылке ($L_{До}$) следующим образом:

• для ноты "Ре": $L_{Ре} = \frac{8}{9} L_{До}$ (примерно $0.89 L_{До}$)
• для ноты "Ми": $L_{Ми} = \frac{4}{5} L_{До}$ ($0.8 L_{До}$)
• для ноты "Фа": $L_{Фа} = \frac{3}{4} L_{До}$ ($0.75 L_{До}$)
• для ноты "Соль": $L_{Соль} = \frac{2}{3} L_{До}$ (примерно $0.67 L_{До}$)
• для ноты "Ля": $L_{Ля} = \frac{3}{5} L_{До}$ ($0.6 L_{До}$)
• для ноты "Си": $L_{Си} = \frac{8}{15} L_{До}$ (примерно $0.53 L_{До}$)