Номер 3, страница 143 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 3. Импульс. Закон сохранения импульса. Параграф 23. Импульс. Изменение импульса материальной точки. Система тел. Закон сохранения импульса. Упражнения - номер 3, страница 143.

Условие.

3. Мальчик массой $50 \text{ кг}$ стоит на равномерно вращающейся карусели. Модуль скорости мальчика равен $2 \text{ м/с}$. Найдите модуль изменения импульса мальчика за одну четверть периода; за целый период. Считайте мальчика материальной точкой. Какие силы изменяют импульс мальчика?

Решение.

Дано:

Масса мальчика, $m = 50 \text{ кг}$
Модуль скорости мальчика, $v = 2 \text{ м/с}$
Первый промежуток времени, $\Delta t_1 = T/4$ (четверть периода)
Второй промежуток времени, $\Delta t_2 = T$ (целый период)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Модуль изменения импульса за четверть периода, $|\Delta\vec{p}_1|$.
2. Модуль изменения импульса за целый период, $|\Delta\vec{p}_2|$.
3. Силы, изменяющие импульс мальчика.

Решение:

Импульс тела является векторной величиной и определяется по формуле $\vec{p} = m\vec{v}$. Изменение импульса $\Delta\vec{p}$ равно разности конечного и начального импульсов: $\Delta\vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$. Мальчик движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, значит, модуль его импульса также постоянен и равен $p = mv = 50 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с} = 100 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$. Однако направление вектора скорости, а следовательно и вектора импульса, постоянно меняется.

Найдите модуль изменения импульса мальчика за одну четверть периода

За четверть периода ($T/4$) мальчик пройдет четверть окружности, и его вектор скорости повернется на угол $90^\circ$. Пусть в начальный момент времени вектор импульса $\vec{p}_1$ направлен по оси OY. Тогда через четверть периода вектор импульса $\vec{p}_2$ будет направлен по оси OX (или -OX, в зависимости от направления вращения). В любом случае, векторы $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ будут перпендикулярны друг другу.

Модуль изменения импульса найдем как модуль разности векторов $\Delta\vec{p}_1 = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$. Так как векторы $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ перпендикулярны, а их модули равны ($|\vec{p}_1| = |\vec{p}_2| = p = mv$), модуль их разности можно найти по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, построенного на векторах $\vec{p}_2$ и $-\vec{p}_1$:

$|\Delta\vec{p}_1| = \sqrt{|\vec{p}_1|^2 + |\vec{p}_2|^2} = \sqrt{(mv)^2 + (mv)^2} = \sqrt{2(mv)^2} = mv\sqrt{2}$

Подставим числовые значения:

$|\Delta\vec{p}_1| = 50 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с} \cdot \sqrt{2} = 100\sqrt{2} \text{ кг}\cdot\text{м/с} \approx 141,4 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Ответ: Модуль изменения импульса за четверть периода равен $100\sqrt{2} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

за целый период

За один полный период ($\text{T}$) мальчик совершит полный оборот и вернется в исходную точку. Поскольку движение равномерное, его скорость в этой точке (как по модулю, так и по направлению) будет такой же, как и в начале. Следовательно, начальный и конечный векторы импульса будут равны: $\vec{p}_2 = \vec{p}_1$.

Изменение импульса в этом случае равно:

$\Delta\vec{p}_2 = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = \vec{p}_1 - \vec{p}_1 = \vec{0}$

Модуль изменения импульса равен нулю.

Ответ: Модуль изменения импульса за целый период равен $\text{0}$.

Какие силы изменяют импульс мальчика?

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, изменение импульса тела вызвано действием равнодействующей всех сил, приложенных к телу ($\Delta\vec{p} = \vec{F}_{равн} \cdot \Delta t$). На мальчика, стоящего на карусели, действуют три силы:

1. Сила тяжести ($m\vec{g}$), направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$), направленная вертикально вверх.
3. Сила трения покоя ($\vec{F}_{тр}$), направленная горизонтально к центру вращения карусели.

Сила тяжести и сила нормальной реакции опоры уравновешивают друг друга, так как в вертикальном направлении движения нет. Их векторная сумма равна нулю. Следовательно, равнодействующая всех сил равна силе трения покоя: $\vec{F}_{равн} = \vec{F}_{тр}$.

Именно эта сила, сила трения покоя, является центростремительной силой. Она постоянно направлена к центру окружности и изменяет направление вектора скорости (и импульса) мальчика, заставляя его двигаться по окружности. Таким образом, импульс мальчика изменяет сила трения покоя.

Ответ: Импульс мальчика изменяет сила трения покоя, действующая со стороны карусели и направленная к центру вращения.