Номер 1, страница 193 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 5. Статика. Параграф 30. Применение условий равновесия при решении задач статики - номер 1, страница 193.

Условие.

1. Определите модуль силы натяжения лёгкого троса, на котором висит светофор массой $m = 20 \text{ кг}$ (см. рис. 120), если угол между вертикалью и каждой частью троса равен $\frac{\alpha}{2} = 45^\circ$.

Решение.

Дано:

Масса светофора $m = 20$ кг
Угол между вертикалью и каждой частью троса $\frac{\alpha}{2} = 45^\circ$
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

Модуль силы натяжения троса $\text{T}$.

Решение:

Светофор находится в состоянии равновесия. Согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на светофор, равна нулю. На светофор действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и две силы натяжения троса $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$, направленные вдоль его частей.

Условие равновесия имеет вид:

$\vec{F_g} + \vec{T_1} + \vec{T_2} = 0$

Введём систему координат, направив ось OY вертикально вверх. Вследствие симметрии задачи, модули сил натяжения одинаковы: $|\vec{T_1}| = |\vec{T_2}| = T$. Угол между каждой силой натяжения и осью OY равен $\frac{\alpha}{2} = 45^\circ$.

Запишем уравнение равновесия в проекции на ось OY:

$T \cos(\frac{\alpha}{2}) + T \cos(\frac{\alpha}{2}) - mg = 0$

$2T \cos(\frac{\alpha}{2}) = mg$

Выразим из этого уравнения модуль силы натяжения $\text{T}$:

$T = \frac{mg}{2 \cos(\frac{\alpha}{2})}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{20 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{2 \cdot \cos(45^\circ)} = \frac{196 \text{ Н}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{196 \text{ Н}}{\sqrt{2}}$

Упростим выражение:

$T = \frac{196\sqrt{2}}{2} \text{ Н} = 98\sqrt{2} \text{ Н}$

Рассчитаем приближённое значение:

$T \approx 98 \cdot 1.414 \approx 138.6 \text{ Н}$

Ответ: модуль силы натяжения каждой части троса равен $98\sqrt{2}$ Н, что приблизительно составляет 139 Н.