Номер 2, страница 193 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 5. Статика. Параграф 30. Применение условий равновесия при решении задач статики - номер 2, страница 193.

Условие.

*2. Проведите анализ ответа, полученного в задаче 1. Исследуйте зависимость силы натяжения троса от угла между его частями и вертикалью. В каком случае модуль силы натяжения минимален? Определите максимальный угол, при котором трос ещё не оборвётся, если модуль максимально допустимой силы натяжения равен 300 Н, а масса светофора равна 30 кг.

Решение.

Исследуйте зависимость силы натяжения троса от угла между его частями и вертикалью.

Для анализа рассмотрим систему в равновесии. На светофор массой $\text{m}$ действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и две силы натяжения $\vec{T}$ от каждой из двух частей троса. Предполагая симметричную подвеску, модули сил натяжения в обеих частях троса одинаковы. Пусть $\alpha$ — угол между каждой частью троса и вертикалью.

Условие равновесия заключается в том, что векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю. Спроецируем силы на вертикальную ось OY, направленную вверх:

$\sum F_y = T_y + T_y - F_g = 0$

Проекция каждой силы натяжения на вертикальную ось равна $T_y = T \cos(\alpha)$, а проекция силы тяжести равна $-mg$. Тогда уравнение равновесия примет вид:

$T \cos(\alpha) + T \cos(\alpha) - mg = 0$

$2T \cos(\alpha) = mg$

Отсюда выразим зависимость модуля силы натяжения $\text{T}$ от угла $\alpha$:

$T(\alpha) = \frac{mg}{2 \cos(\alpha)}$

Из этой формулы видно, что сила натяжения $\text{T}$ обратно пропорциональна $\cos(\alpha)$. Поскольку при увеличении угла $\alpha$ в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ значение $\cos(\alpha)$ уменьшается (от 1 до 0), сила натяжения троса будет возрастать. При $\alpha$, стремящемся к $90^\circ$ (трос почти горизонтален), сила натяжения стремится к бесконечности.

Ответ: Сила натяжения троса $\text{T}$ зависит от угла $\alpha$ между тросом и вертикалью согласно формуле $T = \frac{mg}{2 \cos(\alpha)}$. С увеличением угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $90^\circ$ сила натяжения неограниченно возрастает.

В каком случае модуль силы натяжения минимален?

Исходя из полученной зависимости $T = \frac{mg}{2 \cos(\alpha)}$, сила натяжения $\text{T}$ принимает минимальное значение, когда знаменатель дроби, $2 \cos(\alpha)$, максимален. Максимальное значение функции $\cos(\alpha)$ равно 1 и достигается при $\alpha = 0^\circ$.

Физически это означает, что обе части троса висят вертикально. В этом случае каждая часть троса выдерживает ровно половину веса светофора, и сила натяжения в каждой из них минимальна:

$T_{min} = \frac{mg}{2 \cos(0^\circ)} = \frac{mg}{2 \cdot 1} = \frac{mg}{2}$

Ответ: Модуль силы натяжения минимален при угле $\alpha = 0^\circ$, то есть когда части троса расположены вертикально.

Определите максимальный угол, при котором трос ещё не оборвётся, если модуль максимально допустимой силы натяжения равен 300 Н, а масса светофора равна 30 кг.

Дано:

Максимально допустимая сила натяжения $T_{max} = 300 \text{ Н}$
Масса светофора $m = 30 \text{ кг}$
Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Максимальный угол $\alpha_{max}$

Решение:

Используем выведенную ранее формулу для силы натяжения троса:$T = \frac{mg}{2 \cos(\alpha)}$Трос оборвется, если сила натяжения $\text{T}$ превысит максимально допустимое значение $T_{max}$. Предельный случай, при котором трос еще не оборвется, соответствует равенству $T = T_{max}$. Максимальный угол $\alpha_{max}$ будет соответствовать этому предельному натяжению.

$T_{max} = \frac{mg}{2 \cos(\alpha_{max})}$

Выразим из этого уравнения $\cos(\alpha_{max})$:

$\cos(\alpha_{max}) = \frac{mg}{2 T_{max}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\cos(\alpha_{max}) = \frac{30 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{2 \cdot 300 \text{ Н}} = \frac{300 \text{ Н}}{600 \text{ Н}} = 0.5$

Теперь найдем угол, косинус которого равен 0.5:

$\alpha_{max} = \arccos(0.5) = 60^\circ$

Ответ: Максимальный угол, при котором трос ещё не оборвётся, равен $60^\circ$.