Номер 4, страница 193 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 5. Статика. Параграф 30. Применение условий равновесия при решении задач статики - номер 4, страница 193.

Условие.

*4 Как изменится ответ в задаче 3, если центр тяжести лестницы расположен на расстоянии $\frac{L}{3}$ от её нижнего конца?

Решение.

Дано:

Длина лестницы: $\text{L}$

Масса лестницы: $\text{m}$

Расстояние от нижнего конца до центра тяжести: $d = \frac{L}{3}$

Коэффициент трения между полом и лестницей: $\mu$

Угол наклона лестницы к горизонту: $\alpha$

Стена гладкая, пол шероховатый.

Найти:

Как изменится условие равновесия по сравнению с задачей 3, где центр тяжести находился на расстоянии $\frac{L}{2}$ от нижнего конца.

Решение:

Для того чтобы лестница находилась в равновесии, должны выполняться два условия: сумма всех действующих на нее сил должна быть равна нулю, и сумма моментов всех сил относительно любой точки также должна быть равна нулю.

На лестницу действуют следующие силы:

1. Сила тяжести $mg$, приложенная к центру тяжести и направленная вертикально вниз.

2. Сила нормальной реакции опоры со стороны пола $N_1$, направленная вертикально вверх.

3. Сила трения покоя со стороны пола $F_{тр}$, направленная горизонтально к стене.

4. Сила нормальной реакции опоры со стороны гладкой стены $N_2$, направленная горизонтально от стены.

Запишем первое условие равновесия (равенство сил) в проекциях на горизонтальную (X) и вертикальную (Y) оси:

Ось X: $\sum F_x = N_2 - F_{тр} = 0 \implies N_2 = F_{тр}$

Ось Y: $\sum F_y = N_1 - mg = 0 \implies N_1 = mg$

Запишем второе условие равновесия (равенство моментов) относительно точки касания лестницы с полом. Это удобно, так как моменты сил $N_1$ и $F_{тр}$ относительно этой точки равны нулю.

Момент силы тяжести $M_{mg}$ вращает лестницу по часовой стрелке. Его плечо равно $d \cdot \cos(\alpha)$.

$M_{mg} = mg \cdot d \cdot \cos(\alpha)$

Подставляем заданное значение $d = \frac{L}{3}$:

$M_{mg} = mg \frac{L}{3} \cos(\alpha)$

Момент силы реакции стены $M_{N_2}$ вращает лестницу против часовой стрелки. Его плечо равно $L \cdot \sin(\alpha)$.

$M_{N_2} = N_2 \cdot L \cdot \sin(\alpha)$

При равновесии сумма моментов равна нулю: $M_{N_2} - M_{mg} = 0$.

$N_2 L \sin(\alpha) - mg \frac{L}{3} \cos(\alpha) = 0$

Отсюда выразим $N_2$:

$N_2 = \frac{mg L \cos(\alpha)}{3 L \sin(\alpha)} = \frac{mg}{3 \tan(\alpha)}$

Лестница не будет скользить, если сила трения покоя не превышает своего максимального значения: $F_{тр} \le \mu N_1$.

Используя полученные ранее соотношения $F_{тр} = N_2$ и $N_1 = mg$, подставляем их в неравенство:

$\frac{mg}{3 \tan(\alpha)} \le \mu mg$

Сократив $mg$, получаем искомое условие равновесия:

$\frac{1}{3 \tan(\alpha)} \le \mu$, или в другой форме: $\tan(\alpha) \ge \frac{1}{3\mu}$.

Теперь сравним полученный результат с ответом для задачи 3, где лестница предполагалась однородной, и ее центр тяжести находился посередине ($d_0 = \frac{L}{2}$). Для однородной лестницы условие равновесия выглядит как:

$\tan(\alpha) \ge \frac{1}{2\mu}$

Сравнение показывает, что величина, которой должен быть не меньше тангенс угла, уменьшилась, так как $\frac{1}{3\mu} < \frac{1}{2\mu}$. Это означает, что минимальный угол $\alpha_{min}$, при котором лестница будет находиться в равновесии, стал меньше. Таким образом, лестница со смещенным вниз центром тяжести является более устойчивой.

Если в задаче 3 требовалось найти минимальный коэффициент трения $\mu_{min}$ для заданного угла $\alpha$, то старый ответ был $\mu_{min} = \frac{1}{2 \tan(\alpha)}$, а новый ответ $\mu'_{min} = \frac{1}{3 \tan(\alpha)}$. Новый минимальный коэффициент трения составляет $\frac{2}{3}$ от старого.

Ответ: Условие равновесия изменится с $\tan(\alpha) \ge \frac{1}{2\mu}$ на $\tan(\alpha) \ge \frac{1}{3\mu}$. Это означает, что лестница стала более устойчивой: минимальный угол наклона, при котором она не будет скользить, уменьшился. Если же в задаче 3 требовалось найти минимальный коэффициент трения для заданного угла, то он уменьшится и станет равен $\mu'_{min} = \frac{1}{3 \tan(\alpha)}$, что в $\frac{2}{3}$ раза меньше, чем для однородной лестницы.