Номер 3, страница 193 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 5. Статика. Параграф 30. Применение условий равновесия при решении задач статики - номер 3, страница 193.

Условие.

3. К гладкой стене прислонена лестница массой $\text{m}$ и длиной $\text{L}$ (см. рис. 121). Центр тяжести лестницы расположен в её середине. Коэффициент трения лестницы о пол равен $\mu$. Определите, какой угол $\alpha$ с горизонтом может составлять лестница, если она находится в равновесии.

Решение.

Дано:

Масса лестницы: $\text{m}$
Длина лестницы: $\text{L}$
Коэффициент трения лестницы о пол: $μ$
Стена гладкая (коэффициент трения о стену равен 0).
Центр тяжести лестницы расположен в её середине.

Найти:

Угол $\alpha$, который может составлять лестница с горизонтом.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на лестницу, находящуюся в равновесии.
1. Сила тяжести $mg$, приложенная к центру масс лестницы (в её середине) и направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры со стороны пола $N_1$, направленная перпендикулярно полу, то есть вертикально вверх.
3. Сила нормальной реакции опоры со стороны гладкой стены $N_2$, направленная перпендикулярно стене, то есть горизонтально.
4. Сила трения покоя $F_{тр}$ со стороны пола, направленная горизонтально к стене, так как она препятствует проскальзыванию нижнего конца лестницы от стены.

Для равновесия тела необходимо выполнение двух условий:
1. Равенство нулю векторной суммы всех действующих на тело сил (первое условие равновесия).
2. Равенство нулю суммы моментов всех сил относительно любой оси (второе условие равновесия).

Запишем первое условие равновесия в проекциях на оси координат. Направим ось Oy вертикально вверх, а ось Ox – горизонтально в сторону от стены.
Сумма проекций сил на ось Oy: $N_1 - mg = 0 \implies N_1 = mg$.
Сумма проекций сил на ось Ox: $F_{тр} - N_2 = 0 \implies F_{тр} = N_2$.

Запишем второе условие равновесия (правило моментов). В качестве точки, относительно которой будем считать моменты, выберем точку касания лестницы с полом. Это удобно, так как моменты сил $N_1$ и $F_{тр}$ относительно этой точки равны нулю.
Момент силы тяжести $mg$ вращает лестницу по часовой стрелке. Плечо этой силы равно $d_1 = \frac{L}{2}\cos\alpha$. Момент $M_1 = mg \cdot \frac{L}{2}\cos\alpha$.
Момент силы реакции стены $N_2$ вращает лестницу против часовой стрелки. Плечо этой силы равно $d_2 = L\sin\alpha$. Момент $M_2 = N_2 \cdot L\sin\alpha$.
Условие равновесия моментов (сумма моментов равна нулю): $M_2 - M_1 = 0$.
$N_2 L\sin\alpha - mg \frac{L}{2}\cos\alpha = 0$.

Решим полученную систему уравнений. Из уравнения моментов выразим $N_2$:
$N_2 L\sin\alpha = mg \frac{L}{2}\cos\alpha$
Сократив на $\text{L}$, получим:
$N_2 = \frac{mg}{2} \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{mg}{2}\text{ctg}\alpha$.

Из условия равенства сил по горизонтали ($F_{тр} = N_2$) находим силу трения, необходимую для удержания лестницы в равновесии:
$F_{тр} = \frac{mg}{2}\text{ctg}\alpha$.

Лестница будет находиться в равновесии до тех пор, пока необходимая для этого сила трения покоя не превышает своего максимального значения $F_{тр.макс}$.
$F_{тр} \leq F_{тр.макс}$
Максимальная сила трения покоя определяется как $F_{тр.макс} = \mu N_1$.
Поскольку из первого условия равновесия мы нашли, что $N_1 = mg$, то $F_{тр.макс} = \mu mg$.

Подставим выражения для $F_{тр}$ и $F_{тр.макс}$ в неравенство:
$\frac{mg}{2}\text{ctg}\alpha \leq \mu mg$.

Сократим обе части неравенства на $mg$ (поскольку $m>0$ и $g>0$):
$\frac{1}{2}\text{ctg}\alpha \leq \mu$
$\text{ctg}\alpha \leq 2\mu$.

Поскольку в диапазоне $0 < \alpha < 90^\circ$ функция котангенса является монотонно убывающей, это неравенство определяет минимальный угол, при котором лестница еще может сохранять равновесие.
Перепишем неравенство через тангенс. Так как $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}$ и $\text{tg}\alpha > 0$ для рассматриваемых углов, получаем:
$\frac{1}{\text{tg}\alpha} \leq 2\mu \implies 1 \leq 2\mu \cdot \text{tg}\alpha \implies \text{tg}\alpha \geq \frac{1}{2\mu}$.
Таким образом, лестница будет находиться в равновесии, если тангенс угла её наклона к горизонту не меньше величины $\frac{1}{2\mu}$.

Ответ: Лестница находится в равновесии, если угол $\alpha$, который она составляет с горизонтом, удовлетворяет условию $\text{tg}\alpha \geq \frac{1}{2\mu}$, или, что эквивалентно, $\alpha \geq \text{arctg}\left(\frac{1}{2\mu}\right)$.