Номер 1, страница 343 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Лабораторные работы - номер 1, страница 343.

Условие.

Лабораторная работа № 1

Изучение прямолинейного равноускоренного движения

Цель работы: а) изучить зависимость перемещения тела от времени при его равноускоренном прямолинейном движении; б) определить модули скорости и ускорения при таком движении.

Оборудование: универсальный штатив с лапкой, жёлоб (или наклонная плоскость) с наклеенной вдоль него узкой бумажной лентой, тяжёлый металлический брусок, шарик (диаметром 0,5–2 см), карандаш, метроном, линейка с миллиметровыми делениями.

Дополнительные сведения

Если шарик начинает равноускоренное движение без начальной скорости по прямолинейной траектории, то модули его перемещения $\Delta x_i$ за последовательные равные промежутки времени должны удовлетворять соотношению:

$\Delta x_1 : \Delta x_2 : \Delta x_3 : \Delta x_4 : \Delta x_5 = 1 : 3 : 5 : 7 : 9.$

Выполнение соотношения (1) является критерием справедливости гипотезы о равноускоренном прямолинейном движении шарика. Измерив модуль перемещения $\Delta x$ шарика от начала движения к моменту времени $\text{t}$, можно определить модуль $\text{v}$ его скорости в этот момент времени и модуль $\text{a}$ ускорения:

$v(t) = \frac{2x}{t}, a = \frac{2x}{t^2}.$

Порядок выполнения

В работе используют один метроном на весь класс. Метроном должен быть настроен на 120 ударов в минуту, т. е. так, что два последовательных удара отмечают промежуток времени 0,5 с.

Рис. 199

1. Соберите установку так, как показано на рис. 199, закрепив жёлоб лапкой штатива. Конец жёлоба должен опираться о стол. На нижний конец жёлоба положите металлический брусок. Сделайте отметку карандашом на ленте у верхнего края жёлоба. Эта отметка будет началом отсчёта координатной оси $\text{X}$, направленной вниз вдоль ленты. Наклон жёлоба подберите таким, чтобы шарик скатывался от начала отсчёта до удара о брусок не быстрее чем за 5 ударов метронома (2,5 с).

2. В каждом эксперименте ставьте шарик так, чтобы его нижний край совпадал с началом отсчёта. Отпускайте шарик одновременно с ударом метронома. Наклон жёлоба должен оставаться неизменным на протяжении всей работы.

3. Для определения мест нахождения шарика, движущегося по жёлобу, в моменты, соответствующие последующим ударам метронома, используйте металлический брусок. Для этого проведите ряд экспериментов по скатыванию шарика, перемещая брусок вдоль жёлоба. Отметьте на ленте положение грани бруска, о которую происходит удар скатывающегося шарика, в момент, совпадающий с первым после начала скатывания ударом метронома. Затем отметьте на ленте положения этой грани в два момента, соответствующие последующим ударам метронома. Для каждого из отметок опыт повторите три раза.

4. Измерьте расстояния от начала отсчёта до каждой из отметок. Результаты измерений координат отметок занесите в таблицу. Вычислите среднее значение для координаты отметки, соответствующей первому ($x_1$) удару метронома. Затем вычислите средние значения для координат отметок, соответствующих последующим ($x_2, x_3, x_4, x_5$) ударам метронома. Результаты расчётов занесите в таблицу (табл. 11).

Таблица 11

Координата, см | Опыт 1 | Опыт 2 | Опыт 3 | Среднее значение

$x_1$ | | | |

$x_2$ | | | |

$x_3$ | | | |

$x_4$ | | | |

$x_5$ | | | |

5. По данным последнего столбца таблицы постройте график зависимости пройденного шариком пути от времени.

6. Рассчитайте расстояния, которые проходил шарик за промежутки времени между последовательными ударами метронома. Для этого, используя средние значения координат ударов шарика о брусок из таблиц, вычислите разности координат для каждой пары последовательных ударов:

$\Delta x_1 = x_1 - 0, \Delta x_2 = x_2 - x_1, \Delta x_3 = x_3 - x_2$ и т. д.

Результаты расчётов занесите в таблицу (табл. 12).

Таблица 12

$\Delta x_1$, см | $\Delta x_2$, см | $\Delta x_3$, см | $\Delta x_4$, см | $\Delta x_5$, см

| | | |

Вычислите, во сколько раз $\Delta x_2, \Delta x_3, \Delta x_4$ и $\Delta x_5$ больше, чем $\Delta x_1$. Результаты расчётов запишите аналогично соотношению (1) в виде:

$\Delta x_1 : \Delta x_2 : \Delta x_3 : \Delta x_4 : \Delta x_5 = 1 : : : : .$

Подтверждают ли полученные результаты гипотезу о равноускоренном движении шарика?

7. Зная, что полное время движения шарика равно 2,5 с, вычислите по формулам (2) модули ускорения $\text{a}$ и максимальной скорости $\text{v}$ шарика (через 2,5 с после начала его движения). Результаты запишите в отдельную строку.

8*. Определите максимальную абсолютную погрешность измерения расстояний, указанных в таблицах. Считая, что промежутки времени между ударами метронома известны с точностью 0,1 с, оцените погрешность определения значений $\text{a}$ и $\text{v}$.

Вопросы и задания

1. Докажите справедливость соотношения (1).

2. Вычислите модули скоростей движения шарика в моменты второго и четвёртого ударов метронома.

3. Зависит ли ускорение шарика от времени в ваших опытах?

4*. Зависит ли точность измерения скорости и ускорения от длительности рассматриваемого интервала времени?

Решение.

1. Докажите справедливость соотношения (1).

Соотношение (1) описывает путь, проходимый телом за последовательные равные промежутки времени при равноускоренном движении без начальной скорости. Пусть $ \tau $ — длительность одного такого промежутка времени (в данной работе $ \tau = 0,5 \, \text{с} $).

Зависимость пути $ x $ от времени $ t $ при равноускоренном движении без начальной скорости ($ v_0=0 $) дается формулой: $ x(t) = \frac{at^2}{2} $, где $ a $ — ускорение.

Найдем путь, пройденный шариком к моментам времени $ t_1 = \tau $, $ t_2 = 2\tau $, $ t_3 = 3\tau $ и так далее:

• $ x_1 = x(\tau) = \frac{a\tau^2}{2} $
• $ x_2 = x(2\tau) = \frac{a(2\tau)^2}{2} = 4 \frac{a\tau^2}{2} $
• $ x_3 = x(3\tau) = \frac{a(3\tau)^2}{2} = 9 \frac{a\tau^2}{2} $
• $ x_4 = x(4\tau) = \frac{a(4\tau)^2}{2} = 16 \frac{a\tau^2}{2} $
• $ x_5 = x(5\tau) = \frac{a(5\tau)^2}{2} = 25 \frac{a\tau^2}{2} $

Теперь найдем перемещения $ \Delta x_i $ за каждый последовательный промежуток времени $ \tau $:

• За первый промежуток (от 0 до $ \tau $): $ \Delta x_1 = x_1 - 0 = \frac{a\tau^2}{2} $
• За второй промежуток (от $ \tau $ до $ 2\tau $): $ \Delta x_2 = x_2 - x_1 = 4 \frac{a\tau^2}{2} - \frac{a\tau^2}{2} = 3 \frac{a\tau^2}{2} $
• За третий промежуток (от $ 2\tau $ до $ 3\tau $): $ \Delta x_3 = x_3 - x_2 = 9 \frac{a\tau^2}{2} - 4 \frac{a\tau^2}{2} = 5 \frac{a\tau^2}{2} $
• За четвертый промежуток (от $ 3\tau $ до $ 4\tau $): $ \Delta x_4 = x_4 - x_3 = 16 \frac{a\tau^2}{2} - 9 \frac{a\tau^2}{2} = 7 \frac{a\tau^2}{2} $
• За пятый промежуток (от $ 4\tau $ до $ 5\tau $): $ \Delta x_5 = x_5 - x_4 = 25 \frac{a\tau^2}{2} - 16 \frac{a\tau^2}{2} = 9 \frac{a\tau^2}{2} $

Теперь составим отношение этих перемещений: $ \Delta x_1 : \Delta x_2 : \Delta x_3 : \Delta x_4 : \Delta x_5 = \left(\frac{a\tau^2}{2}\right) : \left(3 \frac{a\tau^2}{2}\right) : \left(5 \frac{a\tau^2}{2}\right) : \left(7 \frac{a\tau^2}{2}\right) : \left(9 \frac{a\tau^2}{2}\right) $

Сократив общий множитель $ \frac{a\tau^2}{2} $, получаем: $ \Delta x_1 : \Delta x_2 : \Delta x_3 : \Delta x_4 : \Delta x_5 = 1 : 3 : 5 : 7 : 9 $

Таким образом, справедливость соотношения (1) доказана.

Ответ: Соотношение (1) является следствием квадратичной зависимости пути от времени ($ x \propto t^2 $) при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью. Пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд нечётных чисел.

2. Вычислите модули скоростей движения шарика в моменты второго и четвёртого ударов метронома.

Для расчета скоростей необходимо сначала определить ускорение шарика $ a $ из экспериментальных данных. Предположим, что среднее значение полного пути $ x_5 $, пройденного за 5 ударов метронома, было измерено.

Дано:

$ v_0 = 0 \, \text{м/с} $
Промежуток времени между ударами: $ \tau = 0,5 \, \text{с} $
Момент второго удара: $ t_2 = 2 \tau = 2 \cdot 0,5 = 1 \, \text{с} $
Момент четвертого удара: $ t_4 = 4 \tau = 4 \cdot 0,5 = 2 \, \text{с} $
Общее время движения (5 ударов): $ t_5 = 5 \tau = 2,5 \, \text{с} $
Полный путь за время $ t_5 $: $ x_5 $ (значение из таблицы 11)

Найти:

$ v_2 $ - скорость в момент $ t_2 $
$ v_4 $ - скорость в момент $ t_4 $

Решение:

1. Сначала найдем ускорение шарика $ a $, используя формулу (2) для полного пути $ x_5 $ и полного времени $ t_5 $: $ x_5 = \frac{at_5^2}{2} \implies a = \frac{2x_5}{t_5^2} $

2. Модуль скорости при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью определяется по формуле $ v(t) = at $.

3. Вычислим скорость $ v_2 $ в момент времени $ t_2 $: $ v_2 = a \cdot t_2 = \left(\frac{2x_5}{t_5^2}\right) \cdot t_2 $

Подставим числовые значения для времени: $ v_2 = \frac{2x_5}{(2,5 \, \text{с})^2} \cdot (1 \, \text{с}) = \frac{2x_5}{6,25} \approx 0,32 x_5 $

4. Вычислим скорость $ v_4 $ в момент времени $ t_4 $: $ v_4 = a \cdot t_4 = \left(\frac{2x_5}{t_5^2}\right) \cdot t_4 $

Подставим числовые значения для времени: $ v_4 = \frac{2x_5}{(2,5 \, \text{с})^2} \cdot (2 \, \text{с}) = \frac{4x_5}{6,25} = 0,64 x_5 $

Для получения численного ответа необходимо подставить в формулы среднее значение $ x_5 $ из таблицы 11, предварительно переведя его в метры.

Ответ: Модули скоростей вычисляются по формулам $ v_2 = a \cdot t_2 $ и $ v_4 = a \cdot t_4 $, где ускорение $ a = \frac{2x_5}{t_5^2} $. В виде конечных формул: $ v_2 = \frac{2x_5 t_2}{t_5^2} $ и $ v_4 = \frac{2x_5 t_4}{t_5^2} $.

3. Зависит ли ускорение шарика от времени в ваших опытах?

Нет, в рамках данной лабораторной работы предполагается, что ускорение шарика не зависит от времени. Цель работы — изучение равноускоренного движения, которое по определению является движением с постоянным ускорением ($ a = \text{const} $).

Физически это обосновано тем, что на шарик, скатывающийся по наклонному желобу, действуют постоянные силы: сила тяжести и сила трения (которую мы считаем постоянной или пренебрежимо малой). Так как угол наклона желоба не меняется, то и равнодействующая сила, вызывающая ускорение, остается постоянной. Согласно второму закону Ньютона ($ F=ma $), постоянная равнодействующая сила сообщает телу постоянное ускорение. Возможные небольшие отклонения в экспериментально вычисленных значениях ускорения на разных участках пути связаны с погрешностями измерений, а не с реальным изменением ускорения во времени.

Ответ: Нет, ускорение шарика от времени не зависит, так как движение считается равноускоренным.

4*. Зависит ли точность измерения скорости и ускорения от длительности рассматриваемого интервала времени?

Да, точность измерения скорости и ускорения зависит от длительности рассматриваемого интервала времени. Чем длиннее интервал времени, тем выше точность (т.е. меньше относительная погрешность) измерений.

Рассмотрим формулы для расчета ускорения и скорости (например, конечной) из эксперимента: $ a = \frac{2x}{t^2} $ и $ v = \frac{2x}{t} $

Относительные погрешности этих величин ($ \varepsilon_a $ и $ \varepsilon_v $) можно оценить по формулам: $ \varepsilon_a = \frac{\Delta a}{a} \approx \frac{\Delta x}{x} + 2\frac{\Delta t}{t} $ $ \varepsilon_v = \frac{\Delta v}{v} \approx \frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta t}{t} $

Здесь $ \Delta x $ и $ \Delta t $ — абсолютные погрешности измерения пути и времени соответственно. Эти погрешности в основном определяются точностью приборов и реакцией экспериментатора, и можно считать их примерно постоянными.

При увеличении длительности интервала времени $ t $ пройденный путь $ x $ также увеличивается (причем квадратично: $ x \propto t^2 $). Следовательно, знаменатели в дробях $ \frac{\Delta x}{x} $ и $ \frac{\Delta t}{t} $ растут. Это означает, что оба слагаемых в формулах для относительных погрешностей уменьшаются.

Таким образом, с увеличением интервала времени $ t $ общая относительная погрешность измерений $ a $ и $ v $ уменьшается, что соответствует повышению точности измерений.

Ответ: Да, зависит. С увеличением длительности рассматриваемого интервала времени относительная погрешность измерений уменьшается, следовательно, точность определения скорости и ускорения возрастает.