Номер 4, страница 350 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Лабораторные работы - номер 4, страница 350.

Условие.

Лабораторная работа № 4

Определение КПД наклонной плоскости и коэффициента трения скольжения

Цель работы: а) определить коэффициент трения скольжения тела о плоскость и КПД наклонной плоскости; б) выяснить, как зависит КПД наклонной плоскости от угла её наклона; в) используя значение КПД, рассчитать коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью.

Оборудование: доска, динамометр, транспортир, брусок с крючком, штатив с лапкой.

Дополнительные сведения

Наклонная плоскость является одним из простых механизмов, используемых при подъёме тяжёлых предметов. По определению КПД простого механизма равен отношению полезной работы $A_п$ ко всей совершённой (затраченной) $A_з$ работе:

$\eta = \frac{A_п}{A_з} \quad (1)$

При равномерном подъёме груза по гладкой наклонной плоскости выполняется «золотое правило механики»: «выигрывая в силе, во столько же раз проигрывают в расстоянии». Поэтому КПД гладкой наклонной плоскости равен единице. При наличии трения КПД наклонной плоскости всегда меньше единицы.

Пусть модуль силы, равномерно поднимающей тело массой $\text{m}$ по реальной наклонной плоскости, равен $\text{F}$, а тело перемещается на расстояние $\text{L}$. В этом случае совершённая (затраченная) работа равна $A_з = F \cdot L$. При таком перемещении центр масс тела поднимается на высоту $h = L \cdot \sin\alpha$. Поэтому потенциальная энергия взаимодействия тела с Землёй увеличивается на $\Delta \Pi = m \cdot g \cdot h = m \cdot g \cdot L \cdot \sin\alpha$. Поскольку полезная работа равна $A_п = \Delta \Pi$, КПД реальной наклонной плоскости (с учётом выражения (1)) равен:

$\eta = \frac{m \cdot g \cdot \sin\alpha}{F} \quad (2)$

Таким образом, для определения КПД реальной наклонной плоскости необходимо измерить силу тяжести, действующую на поднимаемое тело; угол наклона плоскости и модуль силы, необходимой для равномерного подъёма тела по наклонной плоскости.

Используя законы динамики, можно показать, что коэффициент трения скольжения $\mu$ поднимаемого тела о плоскость, КПД $\eta$ плоскости и угол $\alpha$ её наклона при равномерном подъёме связаны соотношением:

$\mu = \left(\frac{1}{\eta}-1\right) \cdot \operatorname{tg}\alpha \quad (3)$

Следовательно, если экспериментально определён КПД реальной наклонной плоскости, то по формуле (3) можно рассчитать коэффициент трения скольжения о плоскость поднимаемого тела.

Порядок выполнения

1. Подвесьте брусок на закреплённый на штативе динамометр. Определите модуль действующей на брусок силы тяжести $m \cdot g$. Запишите результат измерения.

2. Закрепите один конец доски в лапке штатива так, чтобы её нижний край упирался в стол, а доска была наклонена под небольшим углом к горизонту. Положите на доску брусок и несколько раз переместите его, прижимая к доске. Затем положите брусок на доску около удерживающей её лапки штатива. Медленно поднимая лапку штатива, увеличивайте угол наклона доски к горизонту. При небольшом подъёме слегка постукивайте по доске. Продолжайте подъём до тех пор, пока брусок не начнёт скользить по доске. Зафиксируйте это положение доски и измерьте транспортиром угол наклона доски к горизонту. Полученное значение угла запишите в тетрадь. Повторите опыт не менее трёх раз. Вычислите среднее значение угла $\alpha_0$ наклона доски к горизонту, при котором начиналось соскальзывание бруска. Рассчитайте коэффициент трения $\mu_0$ по формуле (см. § 13):

$\mu_0 = \operatorname{tg}\alpha_0 \quad (4)$

Запишите рассчитанное значение.

3. Снимите брусок с доски. Закрепите верхний конец доски в лапке штатива так, чтобы угол её наклона к горизонту был равен $\alpha_1 = 30^\circ$.

4. Положите брусок с прикреплённым к нему динамометром на доску так, как показано на рис. 201. Медленно увеличивайте натяжение пружины динамометра до тех пор, пока брусок не начнёт медленно двигаться вверх по доске. Поддерживая неизменной натяжение пружины, переместите брусок на некоторое расстояние. Запишите в первую клетку таблицы показание динамометра $\text{F}$. Повторите опыт ещё два раза и вычислите среднее значение $\text{F}$. Результаты запишите в табл. 14.

Таблица 14

Угол наклона, F, H (опыт 1), F, H (опыт 2), F, H (опыт 3), Среднее значение F, H, КПД, $\eta$, Коэффициент трения, $\mu$

1) $\alpha_1 = 30^\circ$, , , , , ,

2) $\alpha_2 = 45^\circ$, , , , , ,

5. Установите угол наклона плоскости равным $\alpha_2 = 45^\circ$ и повторите измерения, указанные в п. 4. Заполните вторую строку табл. 14.

6. Используя значения $m \cdot g$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ и средние значения измеренных сил, вычислите по формуле (2) коэффициенты полезного действия наклонной плоскости для двух значений угла её наклона. Запишите полученные значения. Сравните их. Сформулируйте вывод о зависимости КПД от угла наклона плоскости и запишите его.

7. Используя рассчитанные значения КПД и формулу (3), вычислите значения коэффициентов трения $\mu$ бруска о доску при разных углах её наклона. Запишите полученные значения в таблицу. Сравните эти значения между собой и с ранее полученным значением $\mu_0$. Сформулируйте вывод и запишите его.

Вопросы и задания

1. Сформулируйте определение КПД простого механизма.

2. Докажите, что КПД гладкой наклонной плоскости равен единице.

3. Что называют коэффициентом трения? От чего зависит его значение?

4. Выведите формулу (3).

5. Выведите формулу (4).

Решение.

1. Коэффициентом полезного действия (КПД) простого механизма называют отношение полезной работы $A_п$ ко всей совершённой (затраченной) работе $A_з$. КПД показывает, какая часть затраченной работы переходит в полезную, и является мерой эффективности механизма. Он рассчитывается по формуле: $ \eta = \frac{A_п}{A_з} $.
Ответ: КПД простого механизма – это отношение полезной работы к затраченной работе.

2. Докажем, что КПД гладкой (без трения) наклонной плоскости равен единице. По определению, КПД $ \eta = \frac{A_п}{A_з} $.
Полезная работа $A_п$ при подъёме тела массой $\text{m}$ на высоту $\text{h}$ равна изменению его потенциальной энергии: $A_п = m \cdot g \cdot h$.
Затраченная работа $A_з$ равна произведению силы $\text{F}$, приложенной для подъёма тела, на пройденный путь $\text{L}$ вдоль наклонной плоскости: $A_з = F \cdot L$.
На гладкой наклонной плоскости (трение отсутствует) для равномерного подъёма тела необходимо приложить силу $\text{F}$, равную по модулю проекции силы тяжести на ось, параллельную наклонной плоскости. Если угол наклона плоскости равен $\alpha$, то эта сила равна $F = m \cdot g \cdot \sin\alpha$.
Из геометрии наклонной плоскости известно, что высота подъёма $\text{h}$ связана с длиной пути $\text{L}$ и углом наклона $\alpha$ соотношением $h = L \cdot \sin\alpha$.
Подставим выражения для $\text{F}$ и $\text{h}$ в формулы для работы:
$A_п = m \cdot g \cdot (L \cdot \sin\alpha)$
$A_з = (m \cdot g \cdot \sin\alpha) \cdot L$
Как видно, $A_п = A_з$.
Тогда КПД равен: $ \eta = \frac{A_п}{A_з} = \frac{m \cdot g \cdot L \cdot \sin\alpha}{m \cdot g \cdot L \cdot \sin\alpha} = 1 $ (или 100%).
Ответ: Для гладкой наклонной плоскости полезная работа равна затраченной, поэтому её КПД равен единице.

3. Коэффициент трения скольжения ($\mu$) — это скалярная физическая величина, характеризующая силу трения, возникающую между двумя соприкасающимися поверхностями при их относительном движении. Он определяется как отношение модуля силы трения скольжения $F_{тр}$ к модулю силы нормальной реакции опоры $\text{N}$: $ \mu = \frac{F_{тр}}{N} $.
Значение коэффициента трения зависит в первую очередь от материалов, из которых изготовлены соприкасающиеся тела, и от качества обработки их поверхностей (шероховатости). В меньшей степени он может зависеть от относительной скорости движения и температуры.
Ответ: Коэффициент трения — это отношение силы трения к силе нормальной реакции опоры. Его значение зависит от материалов и состояния контактирующих поверхностей.

4*. Найти:

Вывести формулу $ \mu = (\frac{1}{\eta} - 1) \cdot \text{tg}\alpha $.
Решение:

Начнем с определения КПД наклонной плоскости, которое дано в условии как формула (2): $ \eta = \frac{m \cdot g \cdot \sin\alpha}{F} $, где $\text{F}$ — сила, приложенная для равномерного подъёма тела.
При движении тела вверх по наклонной плоскости с трением, приложенная сила $\text{F}$ должна уравновесить сумму проекции силы тяжести на наклонную плоскость $F_{g\parallel}$ и силы трения скольжения $F_{тр}$.
$ F = F_{g\parallel} + F_{тр} $
Проекция силы тяжести на наклонную плоскость: $ F_{g\parallel} = m \cdot g \cdot \sin\alpha $.
Сила трения скольжения: $ F_{тр} = \mu \cdot N $, где $\text{N}$ — сила нормальной реакции опоры.
Сила нормальной реакции опоры уравновешивает проекцию силы тяжести на ось, перпендикулярную наклонной плоскости: $ N = m \cdot g \cdot \cos\alpha $.
Таким образом, сила трения равна $ F_{тр} = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos\alpha $.
Подставим выражения для сил в формулу для $\text{F}$:
$ F = m \cdot g \cdot \sin\alpha + \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos\alpha $
Теперь подставим это выражение для $\text{F}$ в формулу для КПД:
$ \eta = \frac{m \cdot g \cdot \sin\alpha}{m \cdot g \cdot \sin\alpha + \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos\alpha} $
Сократим $m \cdot g$ в числителе и знаменателе:
$ \eta = \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha + \mu \cdot \cos\alpha} $
Теперь выразим $\mu$ из этого уравнения. Разделим числитель и знаменатель правой части на $\cos\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$, т.е. $\alpha \neq 90^\circ$):
$ \eta = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \mu \cdot \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\text{tg}\alpha}{\text{tg}\alpha + \mu} $
Выполним преобразования для нахождения $\mu$:
$ \eta \cdot (\text{tg}\alpha + \mu) = \text{tg}\alpha $
$ \eta \cdot \text{tg}\alpha + \eta \cdot \mu = \text{tg}\alpha $
$ \eta \cdot \mu = \text{tg}\alpha - \eta \cdot \text{tg}\alpha $
$ \eta \cdot \mu = \text{tg}\alpha \cdot (1 - \eta) $
$ \mu = \frac{\text{tg}\alpha \cdot (1 - \eta)}{\eta} $
$ \mu = (\frac{1 - \eta}{\eta}) \cdot \text{tg}\alpha $
$ \mu = (\frac{1}{\eta} - 1) \cdot \text{tg}\alpha $
Формула выведена.
Ответ: Формула $ \mu = (\frac{1}{\eta} - 1) \cdot \text{tg}\alpha $ выведена из определения КПД и второго закона Ньютона для равномерного движения тела по наклонной плоскости с учётом силы трения.

5. Найти:

Вывести формулу $ \mu_0 = \text{tg}\alpha_0 $.
Решение:

Рассмотрим тело, находящееся на наклонной плоскости под углом $\alpha_0$, при котором оно находится на грани соскальзывания. В этом состоянии тело находится в равновесии, и сумма всех действующих на него сил равна нулю. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Направим ось $Ox$ параллельно наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей вверх.
Силы, действующие на тело:
1. Сила тяжести $m \cdot g$, направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная перпендикулярно плоскости.
3. Сила трения покоя $F_{тр.п}$, направленная вдоль плоскости вверх (противоположно возможному движению).
В момент начала соскальзывания сила трения покоя достигает своего максимального значения, равного $ F_{тр.п.max} = \mu_0 \cdot N $, где $\mu_0$ — коэффициент трения покоя.
Запишем уравнения равновесия в проекциях на оси:
Проекция на ось $Oy$: $ N - m \cdot g \cdot \cos\alpha_0 = 0 \implies N = m \cdot g \cdot \cos\alpha_0 $
Проекция на ось $Ox$: $ m \cdot g \cdot \sin\alpha_0 - F_{тр.п.max} = 0 \implies F_{тр.п.max} = m \cdot g \cdot \sin\alpha_0 $
Теперь приравняем два выражения для максимальной силы трения покоя:
$ \mu_0 \cdot N = m \cdot g \cdot \sin\alpha_0 $
Подставим в это уравнение выражение для $\text{N}$ из проекции на ось $Oy$:
$ \mu_0 \cdot (m \cdot g \cdot \cos\alpha_0) = m \cdot g \cdot \sin\alpha_0 $
Сократим обе части уравнения на $m \cdot g$ (так как $m \neq 0$ и $g \neq 0$):
$ \mu_0 \cdot \cos\alpha_0 = \sin\alpha_0 $
Выразим $\mu_0$:
$ \mu_0 = \frac{\sin\alpha_0}{\cos\alpha_0} $
По определению тангенса $ \text{tg}\alpha_0 = \frac{\sin\alpha_0}{\cos\alpha_0} $, следовательно:
$ \mu_0 = \text{tg}\alpha_0 $
Формула выведена.
Ответ: Формула $ \mu_0 = \text{tg}\alpha_0 $ выведена из условия равновесия тела на наклонной плоскости в момент, когда тело находится на грани соскальзывания.