Теоретическое исследование, страница 108 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 3. Магнитное поле. Параграф 19. Электродвижущая сила. Вопросы - страница 108.

Условие.

Теоретическое исследование

Формула для вычисления работы сторонних сил выведена с помощью упрощённой модели опыта (см. рис. 113): $A = F_Л \cdot l = q \cdot v \cdot B \cdot l$

Докажите, что если учесть уточнённую модель (рис. 115), то можно получить для работы сторонних сил ту же формулу.

Указание. Уточнённая модель мысленного эксперимента учитывает тот факт, что сила Лоренца в действительности перпендикулярна не скорости перемычки $\vec{v}$, а полной скорости электрона $\vec{v}_п$.

Вам известно из курса физики 7 класса, что с полки движущегося вагона яблоко падает по прямой вертикальной линии относительно пассажира, находящегосяся в вагоне. Относительно стоящего на платформе человека траектория того же яблока – кривая линия. Подобно падающему яблоку, свободные электроны движутся по прямой вдоль перемычки со скоростью $\vec{v}$. Учитывая правило сложения векторов, полная скорость $\vec{v}_п$ движения электрона равна векторной сумме скорости перемычки $\vec{v}$ и скорости движения электронов вдоль перемычки $\vec{v}_э$: $\vec{v}_п = \vec{v} + \vec{v}_э$ (см. рис. 115). Поэтому в формулу для вычисления работы сторонних сил нужно поставить силу, равную по модулю проекции силы Лоренца $F_y$ на направление перемычки, а вместо скорости перемычки $\vec{v}$ – полную скорость электронов $\vec{v}_п$.

Формула работы сторонних сил по перемещению электрона равна произведению проекции силы Лоренца на ось $\text{Y}$ и длины перемычки: $A = F_y \cdot l$

Проекция силы Лоренца на ось $\text{Y}$ равна $F_y = F_Л \cdot \cos \alpha$. Углы, обозначенные буквой $\alpha$, равны вследствие перпендикулярности сторон. При этом следует учесть, что модуль максимальной силы Лоренца равен $F_Л = q \cdot v_п \cdot B$.

Выразим полную скорость электрона через скорость перемычки: $v_п = v / \cos \alpha$

Учитывая полученные формулы, найдите выражение для работы сторонних сил. Сравните полученную формулу с исходной.

Решение.

Дано:

Работа сторонних сил в уточненной модели: $A = F_y \cdot l$
Проекция силы Лоренца на ось Y: $F_y = F_Л \cos \alpha$
Модуль силы Лоренца, действующей на электрон: $F_Л = q \cdot v_п \cdot B$
Связь полной скорости электрона $v_п$ со скоростью перемычки $\text{v}$: $v_п = v / \cos \alpha$
Исходная формула для работы сторонних сил: $A_{исх} = q \cdot v \cdot B \cdot l$

Найти:

Выражение для работы сторонних сил $\text{A}$ в уточненной модели и сравнить его с исходной формулой $A_{исх}$.

Решение:

Задача состоит в том, чтобы доказать, что формула для работы сторонних сил $A = q \cdot v \cdot B \cdot l$ верна и для уточненной модели, представленной на рисунке 115.

В уточненной модели работа сторонних сил по перемещению электрона на длину перемычки $\text{l}$ вычисляется через проекцию силы Лоренца на направление движения электрона вдоль перемычки (ось Y):

$A = F_y \cdot l$

Из рисунка видно, что проекция силы Лоренца $F_Л$ на ось Y определяется через угол $\alpha$:

$F_y = F_Л \cos \alpha$

Подставим это выражение в формулу для работы:

$A = (F_Л \cos \alpha) \cdot l$

Сила Лоренца $F_Л$ перпендикулярна вектору полной скорости электрона $\vec{v_п}$ и ее модуль равен $F_Л = q \cdot v_п \cdot B$ (поскольку вектор индукции $\vec{B}$ перпендикулярен плоскости движения). Подставим это значение в нашу формулу:

$A = (q \cdot v_п \cdot B \cdot \cos \alpha) \cdot l$

Теперь необходимо выразить полную скорость электрона $v_п$ через скорость перемычки $\text{v}$. Из векторного треугольника скоростей на рисунке, который является прямоугольным, следует, что $\text{v}$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$, а $v_п$ — гипотенузой. Таким образом, $\cos \alpha = v / v_п$, откуда $v_п = v / \cos \alpha$.

Подставим это соотношение в выражение для работы:

$A = (q \cdot \frac{v}{\cos \alpha} \cdot B \cdot \cos \alpha) \cdot l$

Сокращая $\cos \alpha$ в числителе и знаменателе, получаем итоговое выражение:

$A = q \cdot v \cdot B \cdot l$

Сравнивая полученный результат с исходной формулой $A_{исх} = q \cdot v \cdot B \cdot l$, мы видим, что они полностью совпадают. Это доказывает, что уточненная модель, учитывающая истинное направление силы Лоренца, приводит к той же формуле для работы сторонних сил.

Ответ: Выражение для работы сторонних сил, полученное с учетом уточненной модели, имеет вид $A = q \cdot v \cdot B \cdot l$. Эта формула полностью совпадает с исходной.