Номер 7, страница 77 - гдз по физике 9 класс учебник Изергин

Глава III. Механические колебания и волны. Параграф 15. Центростремительное ускорение - номер 7, страница 77.

Условие.

7. С какой максимальной скоростью может ехать мотоциклист по горизонтальной дороге, описывая дугу радиусом 100 м, если коэффициент трения шины о дорогу равен 0,4?

Решение.

Дано:

Радиус дуги, $R = 100$ м

Коэффициент трения, $\mu = 0,4$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Максимальная скорость, $v_{макс}$ - ?

Решение:

При движении мотоциклиста по дуге окружности на него действуют три силы: сила тяжести ($mg$), направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры ($\text{N}$), направленная вертикально вверх, и сила трения покоя ($F_{тр}$), направленная к центру окружности. Сила трения в данном случае является центростремительной силой, которая и заставляет мотоциклиста двигаться по криволинейной траектории.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси. Ось Y направим вертикально вверх, а ось X — к центру дуги.

Проекция на ось Y:

$N - mg = 0$

Отсюда следует, что сила нормальной реакции опоры равна силе тяжести:

$N = mg$

Проекция на ось X:

$F_{тр} = ma_{ц}$

где $a_{ц}$ — центростремительное ускорение, которое равно $a_{ц} = \frac{v^2}{R}$.

Тогда:

$F_{тр} = m\frac{v^2}{R}$

Чтобы скорость была максимальной, сила трения также должна быть максимальной. Максимальная сила трения покоя определяется по формуле:

$F_{тр, макс} = \mu N$

Подставим выражение для $\text{N}$:

$F_{тр, макс} = \mu mg$

Приравниваем два выражения для силы трения при максимальной скорости:

$m\frac{v_{макс}^2}{R} = \mu mg$

Сокращаем массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{v_{макс}^2}{R} = \mu g$

Выражаем максимальную скорость $v_{макс}$:

$v_{макс}^2 = \mu g R$

$v_{макс} = \sqrt{\mu g R}$

Подставим числовые значения:

$v_{макс} = \sqrt{0,4 \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot 100 \text{ м}} = \sqrt{400 \text{ м²/с²}} = 20 \text{ м/с}$

Ответ: максимальная скорость мотоциклиста равна 20 м/с.