Задание 9, страница 216 - гдз по физике 9 класс учебник Изергин

Домашние экспериментальные задания - страница 216.

Условие.

Задание 9

Сравнение периода колебаний груза на нити и периода обращения конического маятника

Цель: определить период колебаний груза на нити и период обращения конического маятника и сравнить их.

Порядок выполнения

1. Привяжите нить к маленькому, но достаточно тяжёлому грузу. Это может быть свинцовое грузило, гайка, металлический шарик.

2. Положите на спинки двух стульев швабру и привяжите к швабре нить с грузиком. Желательно, чтобы длина нити оказалась равной $0,7—1,0 \text{ м}$.

3. Определите период колебания полученного вами маятника. Для этого отведите груз на $2—3 \text{ см}$ в сторону, отпустите и одновременно нажмите кнопку секундомера. Отсчитайте $\text{10}$ полных колебаний и заметьте время окончания десятого колебания. Тогда для нахождения периода надо будет измеренное время $\text{10}$ полных колебаний разделить на $\text{10}$.

4. Если вы отведёте грузик в сторону примерно на $\text{20}$ или $30 \text{ см}$ и сообщите грузику скорость в горизонтальном направлении вправо или влево, то грузик будет двигаться по окружности, а нить будет описывать в пространстве конус. Определите с помощью секундомера период движения грузика по окружности.

5. Результаты всех измерений и расчётов занесите в составленную вами таблицу. Сравните период движения грузика по окружности с периодом колебания.

Решение.

Целью данного задания является теоретическое и экспериментальное определение и сравнение периода колебаний простого маятника и периода обращения конического маятника. Рассмотрим теоретические основы для каждого из движений, чтобы предсказать результат сравнения.

Определение периода колебаний груза на нити (простой маятник)

В пункте 3 описан эксперимент с грузом на нити, который совершает колебания. Если отклонить груз на небольшой угол (в задании указано смещение на 2–3 см при длине нити 0,7–1,0 м, что соответствует малому углу), то такая система представляет собой математический маятник. Период малых колебаний математического маятника $T_{кол}$ определяется по формуле Гюйгенса:

$T_{кол} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ – длина нити маятника, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения. Как видно из формулы, период колебаний такого маятника зависит только от его длины и не зависит от массы груза или амплитуды колебаний (при условии малых углов отклонения).

Экспериментально период находится путем измерения времени $\text{t}$ некоторого числа полных колебаний $\text{N}$ (в задании $N=10$) и последующего расчета по формуле:

$T_{кол} = \frac{t}{N}$

Ответ: Период малых колебаний груза на нити определяется формулой $T_{кол} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ и зависит только от длины нити.

Определение периода обращения конического маятника

В пункте 4 описано движение груза по окружности в горизонтальной плоскости. При этом нить описывает конус, поэтому такой маятник называют коническим. На груз действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $F_T$, направленная вдоль нити.

Равнодействующая этих сил сообщает грузу центростремительное ускорение $a_c$, направленное к центру окружности (горизонтально). Разложим силу натяжения $F_T$ на две составляющие: вертикальную $F_{T,y}$ и горизонтальную $F_{T,x}$.

Пусть $\theta$ – угол отклонения нити от вертикали. Тогда:

Вертикальная составляющая уравновешивает силу тяжести, так как по вертикали движения нет:

$F_{T,y} = F_T \cos\theta = mg$ (1)

Горизонтальная составляющая является центростремительной силой, которая заставляет груз двигаться по окружности:

$F_{T,x} = F_T \sin\theta = ma_c$ (2)

Центростремительное ускорение равно $a_c = \omega^2 r$, где $\omega$ – угловая скорость, а $\text{r}$ – радиус окружности. Радиус, в свою очередь, связан с длиной нити $\text{l}$ и углом $\theta$ как $r = l \sin\theta$.

Подставим выражение для $a_c$ и $\text{r}$ в уравнение (2): $F_T \sin\theta = m \omega^2 l \sin\theta$. Отсюда, сокращая $\sin\theta$ (т.к. $\theta \ne 0$), получаем $F_T = m \omega^2 l$.

Теперь подставим это выражение для $F_T$ в уравнение (1):

$(m \omega^2 l) \cos\theta = mg$

Сократив массу $\text{m}$, получим: $\omega^2 l \cos\theta = g$.

Выразим угловую скорость: $\omega = \sqrt{\frac{g}{l \cos\theta}}$.

Период обращения $T_{обр}$ связан с угловой скоростью соотношением $T_{обр} = \frac{2\pi}{\omega}$. Подставив выражение для $\omega$, получим формулу для периода обращения конического маятника:

$T_{обр} = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos\theta}{g}}$

Ответ: Период обращения конического маятника определяется формулой $T_{обр} = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos\theta}{g}}$ и зависит не только от длины нити $\text{l}$, но и от угла отклонения $\theta$.

Сравнение периодов колебаний и обращения

Сравним полученные формулы для периода колебаний простого маятника и периода обращения конического маятника:

Период колебаний: $T_{кол} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Период обращения: $T_{обр} = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos\theta}{g}}$

Для существования конического маятника угол отклонения от вертикали $\theta$ должен быть больше нуля ($\theta > 0$). Для любого угла в диапазоне $0 < \theta < 90^\circ$, значение его косинуса будет строго меньше единицы: $\cos\theta < 1$.

Следовательно, подкоренное выражение для периода обращения всегда меньше, чем для периода колебаний:

$\frac{l \cos\theta}{g} < \frac{l}{g}$

Из этого следует, что $T_{обр} < T_{кол}$.

Таким образом, период обращения груза, движущегося по окружности (конический маятник), всегда меньше периода его же колебаний (простой маятник) при одинаковой длине нити. Чем больше угол отклонения $\theta$, тем меньше значение $\cos\theta$ и, соответственно, тем меньше период обращения. При стремлении угла $\theta$ к нулю ($\theta \rightarrow 0$), $\cos\theta \rightarrow 1$, и период обращения $T_{обр}$ стремится к периоду колебаний $T_{кол}$.

Ответ: Период обращения конического маятника ($T_{обр}$) всегда меньше периода колебаний простого маятника ($T_{кол}$) той же длины. Их соотношение выражается формулой: $T_{обр} = T_{кол} \sqrt{\cos\theta}$.