Задание 8, страница 216 - гдз по физике 9 класс учебник Изергин

Домашние экспериментальные задания - страница 216.

Условие.

Задание 8

Изучение колебаний груза на резиновой нити

Цель: проверить справедливость формулы периода колебаний груза на пружине.

Порядок выполнения

1. По результатам задания 7 рассчитайте коэффициент упругости вашей резиновой нити. Массу одной монеты примите равной 5 г.

2. Положите в коробочку 2 монеты. Измерьте время 10 полных колебаний чашки (коробочки) и рассчитайте период колебаний.

3. Рассчитайте период колебаний по формуле $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$. (1)

Совпадают ли результаты прямого измерения периода колебаний с результатами расчётов по формуле 1? В чём причина расхождения результатов?

Решение.

Примечание: Поскольку данное задание является описанием лабораторной работы, для его выполнения требуются экспериментальные данные. В приведённом ниже решении будут использованы гипотетические (смоделированные), но реалистичные данные, которые могли бы быть получены в ходе такого эксперимента.

1. По результатам задания 7 рассчитайте коэффициент упругости вашей резиновой нити. Массу одной монеты примите равной 5 г.

Для расчёта коэффициента упругости (жёсткости) $\text{k}$ необходимо знать, на какую величину $\Delta x$ удлинилась резиновая нить под действием силы тяжести груза известной массы $m_1$. Предположим, что в ходе выполнения задания 7 было установлено, что под весом 4 монет нить удлинилась на 10 см.

Дано:

Количество монет для растяжения, $n_1 = 4$
Масса одной монеты, $m_{монеты} = 5$ г
Удлинение нити, $\Delta x = 10$ см
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Перевод в СИ:
$m_{монеты} = 0.005$ кг
$\Delta x = 0.1$ м

Найти:

Коэффициент упругости, $\text{k}$.

Решение:

1. Найдём общую массу груза (монет), растягивающего нить:
$m_1 = n_1 \cdot m_{монеты} = 4 \cdot 0.005 \text{ кг} = 0.02$ кг.

2. Сила тяжести, действующая на груз, равна:
$F_{тяж} = m_1 g = 0.02 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 0.196$ Н.

3. В состоянии равновесия сила тяжести уравновешена силой упругости, возникающей в нити. По закону Гука, сила упругости равна $F_{упр} = k \Delta x$.
$F_{упр} = F_{тяж}$
$k \Delta x = m_1 g$

4. Выразим и рассчитаем коэффициент упругости $\text{k}$:
$k = \frac{m_1 g}{\Delta x} = \frac{0.196 \text{ Н}}{0.1 \text{ м}} = 1.96$ Н/м.

Ответ: Коэффициент упругости резиновой нити равен $1.96$ Н/м.

2. Положите в коробочку 2 монеты. Измерьте время 10 полных колебаний чашки (коробочки) и рассчитайте период колебаний.

Предположим, что в ходе эксперимента было измерено время 10 полных колебаний, и оно составило 5.5 секунд. Также предположим, что масса самой коробочки равна 5 г.

Дано:

Количество монет для колебаний, $n_2 = 2$
Масса одной монеты, $m_{монеты} = 5$ г
Масса коробочки, $m_{кор} = 5$ г
Число полных колебаний, $N = 10$
Время колебаний, $t = 5.5$ с

Перевод в СИ:
$m_{монеты} = 0.005$ кг
$m_{кор} = 0.005$ кг

Найти:

Экспериментально измеренный период колебаний, $T_{эксп}$.

Решение:

1. Найдём общую массу колеблющегося груза (коробочка с монетами):
$m = m_{кор} + n_2 \cdot m_{монеты} = 0.005 \text{ кг} + 2 \cdot 0.005 \text{ кг} = 0.015$ кг.

2. Период колебаний — это время одного полного колебания. Для его нахождения нужно общее время колебаний разделить на их число:
$T_{эксп} = \frac{t}{N} = \frac{5.5 \text{ с}}{10} = 0.55$ с.

Ответ: Период колебаний, рассчитанный по результатам прямого измерения, составляет $0.55$ с.

3. Рассчитайте период колебаний по формуле $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ (1).

Используем значения массы $\text{m}$ и коэффициента упругости $\text{k}$, найденные в предыдущих пунктах.

Дано:

Масса колеблющегося груза, $m = 0.015$ кг
Коэффициент упругости, $k = 1.96$ Н/м
$\pi \approx 3.14$

Найти:

Теоретический период колебаний, $T_{теор}$.

Решение:

Подставим известные значения в формулу (1):
$T_{теор} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{0.015 \text{ кг}}{1.96 \text{ Н/м}}} \approx 6.28 \cdot \sqrt{0.00765} \approx 6.28 \cdot 0.0875 \approx 0.5495$ с.

Округлим результат до сотых: $T_{теор} \approx 0.55$ с.

Ответ: Период колебаний, рассчитанный по формуле, составляет примерно $0.55$ с.

Совпадают ли результаты прямого измерения периода колебаний с результатами расчётов по формуле 1? В чём причина расхождения результатов?

Сравним полученные значения: $T_{эксп} = 0.55$ с и $T_{теор} \approx 0.55$ с. В нашем модельном расчёте результаты практически совпали. Однако в реальном эксперименте почти всегда будет наблюдаться некоторое расхождение.

Причины возможного расхождения результатов:

1. Погрешности измерений. При измерении времени с помощью секундомера возникает погрешность, связанная со скоростью реакции экспериментатора. При измерении удлинения нити линейкой также есть погрешность.
2. Неидеальность резиновой нити. Формула $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ выведена для идеального пружинного маятника, где пружина строго подчиняется закону Гука (коэффициент $\text{k}$ постоянен). Резиновая нить не является идеальной пружиной:
   • Её коэффициент упругости $\text{k}$ может зависеть от степени растяжения.
   • В резине происходят процессы внутреннего трения (гистерезис), которые приводят к потере энергии и затуханию колебаний, что может влиять на период.
3. Сопротивление воздуха. Формула не учитывает силу сопротивления воздуха, которая также приводит к затуханию колебаний и может незначительно изменять их период.
4. Масса резиновой нити. В теоретической модели масса пружины (нити) считается пренебрежимо малой. В реальности нить имеет массу, и её часть тоже участвует в колебательном движении, что вносит вклад в общую колеблющуюся массу и, следовательно, в период.
5. Амплитуда колебаний. Данная формула справедлива только для малых гармонических колебаний. Если амплитуда колебаний была большой, то могут проявляться нелинейные эффекты, и период будет зависеть от амплитуды.

Таким образом, даже при очень точных измерениях экспериментальное значение периода, скорее всего, будет незначительно отличаться от теоретического из-за того, что реальная физическая система (груз на резиновой нити) отличается от своей идеализированной математической модели (пружинный маятник).

Ответ: В реальном эксперименте результаты, как правило, не совпадают идеально, но близки друг к другу. Основными причинами расхождения являются погрешности измерений и отличие свойств реальной резиновой нити от свойств идеальной пружины, для которой выведена формула.