Творческое задание, страница 87 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Творческое задание

Экспериментально установлено, что при постоянном давлении нагревание воздуха на 1 °C приводит к увеличению его объёма на 0,366 % от объёма при 0 °C. Удельная теплоёмкость воздуха при постоянном давлении 101325 Па равна $c_p = 240 \text{ кал}/(\text{кг} \cdot \text{°C})$. В процессе нагревания при постоянном объёме удельная теплоёмкость воздуха равна $c_v = 171 \text{ кал}/(\text{кг} \cdot \text{°C})$. По этим данным вычислите значение механического эквивалента теплоты.

Дано:

Относительное увеличение объёма воздуха при нагревании на $\Delta T = 1 \text{ °C}$ при постоянном давлении: $\frac{\Delta V}{V_0} = 0.366\% = 0.00366$, где $V_0$ — объём при $0 \text{ °C}$.

Удельная теплоёмкость воздуха при постоянном давлении $P = 101325 \text{ Па}$ равна $c_p = 240 \frac{\text{кал}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$.

Удельная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме равна $c_v = 171 \frac{\text{кал}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$.

Найти:

Механический эквивалент теплоты $\text{J}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся первым началом термодинамики и уравнением состояния идеального газа. Воздух при заданных условиях можно с достаточной точностью считать идеальным газом.

Рассмотрим процесс нагревания 1 кг воздуха на $\Delta T = 1 \text{ К}$ (что эквивалентно $\Delta T = 1 \text{ °C}$) при постоянном давлении (изобарный процесс). Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты $Q_p$, сообщенное газу, расходуется на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение работы $\text{A}$ против внешних сил:

$Q_p = \Delta U + A$

В данном уравнении все величины должны быть выражены в одних и тех же единицах, например, в джоулях. Введем механический эквивалент теплоты $\text{J}$ (в Дж/кал), который показывает, сколько джоулей механической энергии эквивалентно одной калории теплоты.

Количество теплоты, сообщенное 1 кг газа, в джоулях равно $J \cdot c_p \cdot \Delta T$.

Изменение внутренней энергии для 1 кг идеального газа зависит только от изменения температуры и равно количеству теплоты, которое потребовалось бы для нагревания газа на ту же температуру $\Delta T$ при постоянном объёме: $\Delta U = J \cdot c_v \cdot \Delta T$.

Работа, совершаемая газом при изобарном процессе, равна $A = P \cdot \Delta V$, где $\text{P}$ — давление, а $\Delta V$ — изменение объёма.

Подставив все выражения в первое начало термодинамики, получаем:

$J \cdot c_p \cdot \Delta T = J \cdot c_v \cdot \Delta T + P \cdot \Delta V$

Перегруппируем члены уравнения:

$J \cdot (c_p - c_v) \cdot \Delta T = P \cdot \Delta V$

Для 1 кг идеального газа справедливо уравнение состояния (уравнение Клапейрона-Менделеева в удельных величинах):

$P \cdot V = r \cdot T$

где $\text{V}$ — удельный объём (объём 1 кг газа), $\text{T}$ — абсолютная температура, а $\text{r}$ — удельная газовая постоянная для воздуха.

При изобарном процессе ($P = \text{const}$), продифференцировав уравнение состояния по температуре, получим:

$P \cdot dV = r \cdot dT$ или для конечных малых изменений $P \cdot \Delta V = r \cdot \Delta T$.

Подставим это выражение для работы в наше уравнение энергетического баланса:

$J \cdot (c_p - c_v) \cdot \Delta T = r \cdot \Delta T$

Сократив $\Delta T$, получаем знаменитое уравнение Майера для удельных теплоёмкостей:

$J \cdot (c_p - c_v) = r$

Отсюда мы можем выразить искомый механический эквивалент теплоты:

$J = \frac{r}{c_p - c_v}$

Теперь необходимо найти значения величин в правой части. Разность удельных теплоёмкостей дана в условии:

$c_p - c_v = 240 \frac{\text{кал}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} - 171 \frac{\text{кал}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} = 69 \frac{\text{кал}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$

Удельную газовую постоянную для воздуха $\text{r}$ можно вычислить, зная универсальную газовую постоянную $R \approx 8.314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ и среднюю молярную массу воздуха $M_{\text{air}} \approx 29 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 0.029 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$:

$r = \frac{R}{M_{\text{air}}} = \frac{8.314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}}{0.029 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}} \approx 286.7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$

В инженерных расчетах для сухого воздуха часто используется уточненное значение $r = 287 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$. Будем использовать это значение.

Теперь можем вычислить $\text{J}$:

$J = \frac{287 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}}{69 \frac{\text{кал}}{\text{кг} \cdot \text{К}}} \approx 4.1594... \frac{\text{Дж}}{\text{кал}}$

Округлим результат до трех значащих цифр, так как исходные данные ($c_p$, $c_v$, 0.366%) имеют такую точность.

$J \approx 4.16 \frac{\text{Дж}}{\text{кал}}$

Стоит отметить, что данные об увеличении объёма на 0.366% при нагреве на 1°C и о давлении 101325 Па являются косвенным подтверждением того, что воздух рассматривается как идеальный газ в нормальных условиях, и эти данные согласуются с использованным значением $\text{r}$.

Ответ: Механический эквивалент теплоты равен приблизительно $4.16 \frac{\text{Дж}}{\text{кал}}$.