Номер 3, страница 23 - гдз по физике 9 класс самостоятельные и контрольные работы Марон, Марон

Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел. Самостоятельные работы. СР-20. Динамика криволинейного движения. Вариант 1 - номер 3, страница 23.

Условие.

3. Мост, прогибаясь под тяжестью поезда массой 400 т, образует дугу радиусом 2000 м. Определите силу давления поезда в средней точке моста. Скорость поезда считать равной 20 м/с. Ускорение свободного падения принять равным $10 \text{ м/с}^2$.

Рис. 30

Решение.

Дано:

$m = 400 \text{ т} = 400 \times 1000 \text{ кг} = 4 \cdot 10^5 \text{ кг}$

$R = 2000 \text{ м}$

$v = 20 \text{ м/с}$

$g = 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{P}$ - сила давления поезда на мост.

Решение:

Когда поезд находится в средней (самой низкой) точке прогнувшегося моста, он движется по дуге окружности. На поезд действуют две силы по вертикали: сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная вниз, и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная вверх со стороны моста.

Поскольку поезд движется по криволинейной траектории, у него есть центростремительное ускорение $a_ц$, направленное к центру кривизны, то есть вертикально вверх. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение. Запишем это в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$\sum F_y = ma_y$

$N - F_{тяж} = ma_ц$

Центростремительное ускорение вычисляется по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Подставим выражение для ускорения и силы тяжести в уравнение второго закона Ньютона:

$N - mg = m\frac{v^2}{R}$

Отсюда выразим силу реакции опоры $\text{N}$:

$N = mg + m\frac{v^2}{R} = m(g + \frac{v^2}{R})$

Согласно третьему закону Ньютона, сила давления поезда на мост $\text{P}$ равна по модулю силе реакции опоры $\text{N}$, с которой мост действует на поезд. Поэтому $P = N$.

Произведем вычисления, подставив числовые значения:

$P = 4 \cdot 10^5 \text{ кг} \cdot (10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + \frac{(20 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2000 \text{ м}})$

$P = 4 \cdot 10^5 \cdot (10 + \frac{400}{2000}) = 4 \cdot 10^5 \cdot (10 + 0.2)$

$P = 4 \cdot 10^5 \cdot 10.2 = 40.8 \cdot 10^5 \text{ Н} = 4.08 \cdot 10^6 \text{ Н}$

Этот результат можно представить в меганьютонах: $4.08 \text{ МН}$.

Ответ: сила давления поезда на мост в его средней точке равна $4.08 \cdot 10^6 \text{ Н}$ или $4.08 \text{ МН}$.