Номер 2, страница 24 - гдз по физике 9 класс самостоятельные и контрольные работы Марон, Марон

Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел. Самостоятельные работы. СР-21. Искусственные спутники Земли. Вариант 1 - номер 2, страница 24.

Условие.

2. Запишите формулу для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося вблизи поверхности Земли. Чему она равна?

Решение.

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты в горизонтальном направлении, чтобы оно стало её искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Для вывода формулы приравняем силу всемирного тяготения, действующую на спутник, к центростремительной силе, которая обеспечивает его движение по круговой орбите. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{тяг} = F_{цс}$

$G \frac{M \cdot m}{R_З^2} = \frac{m \cdot v_1^2}{R_З}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса спутника, $R_З$ — радиус Земли, а $v_1$ — первая космическая скорость.

Сократив массу спутника $\text{m}$ и радиус $R_З$ в уравнении, получим первую формулу:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R_З}}$

Также эту формулу можно выразить через ускорение свободного падения у поверхности Земли $\text{g}$. По определению, $g = G \frac{M}{R_З^2}$, из чего следует, что $GM = gR_З^2$. Подставив это в выражение для скорости, получим вторую, более удобную для расчётов, формулу:

$v_1 = \sqrt{\frac{gR_З^2}{R_З}} = \sqrt{gR_З}$

Теперь рассчитаем численное значение первой космической скорости.

Дано:

Ускорение свободного падения у поверхности Земли: $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$
Средний радиус Земли: $R_З \approx 6400 \, \text{км}$

Перевод данных в систему СИ:
$R_З = 6400 \, \text{км} = 6400 \cdot 10^3 \, \text{м} = 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м}$

Найти:

$v_1$ — ?

Решение:

Воспользуемся формулой $v_1 = \sqrt{gR_З}$.

Подставим известные значения:

$v_1 = \sqrt{9.8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м}} = \sqrt{62.72 \cdot 10^6 \, \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 7919.6 \, \text{м/с}$

Переведём результат в километры в секунду и округлим. В физических задачах и справочниках это значение принято округлять до десятых.

$v_1 \approx 7.92 \, \text{км/с} \approx 7.9 \, \text{км/с}$

Ответ: Формула для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося вблизи поверхности Земли: $v_1 = \sqrt{gR_З}$ или $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R_З}}$. Её значение составляет приблизительно $7.9 \, \text{км/с}$.