Номер 2, страница 24 - гдз по физике 9 класс самостоятельные и контрольные работы Марон, Марон

Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел. Самостоятельные работы. СР-21. Искусственные спутники Земли. Вариант 2 - номер 2, страница 24.

Условие.

2. Запишите формулу для расчёта первой космической скорости спутника любой планеты.

Решение.

Решение

Первая космическая скорость ($v_1$) — это минимальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало её искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Для вывода формулы приравняем силу всемирного тяготения, действующую на спутник, к центростремительной силе, необходимой для удержания спутника на круговой орбите.

Сила всемирного тяготения ($F_{тяг}$) между планетой массой $\text{M}$ и спутником массой $\text{m}$ на расстоянии $\text{R}$ от центра планеты (здесь $\text{R}$ — радиус планеты) определяется по закону всемирного тяготения:

$F_{тяг} = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

Центростремительная сила ($F_{ц}$), необходимая для движения спутника по круговой орбите со скоростью $v_1$, равна:

$F_{ц} = m \frac{v_1^2}{R}$

Так как гравитационная сила и является центростремительной силой, приравниваем их:

$G \frac{M \cdot m}{R^2} = m \frac{v_1^2}{R}$

Сокращаем массу спутника $\text{m}$ и один радиус $\text{R}$:

$G \frac{M}{R} = v_1^2$

Отсюда находим формулу для первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

Также эту формулу можно выразить через ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности планеты. Ускорение свободного падения определяется как $g = G \frac{M}{R^2}$. Отсюда следует, что $GM = gR^2$. Подставив это в полученную формулу, получим:

$v_1 = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$

Таким образом, получены две эквивалентные формулы для расчёта первой космической скорости.

Ответ: Формула для расчёта первой космической скорости спутника для любой планеты имеет вид: $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ или $v_1 = \sqrt{gR}$, где $v_1$ – первая космическая скорость, $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $\text{M}$ – масса планеты, $\text{R}$ – радиус планеты, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения на поверхности этой планеты.