Номер 3, страница 24 - гдз по физике 9 класс самостоятельные и контрольные работы Марон, Марон

Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел. Самостоятельные работы. СР-21. Искусственные спутники Земли. Вариант 1 - номер 3, страница 24.

Условие.

3. Вычислите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте, равной двум радиусам Земли от её поверхности. ($M_{\text{З}} = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$; $R_{\text{З}} = 6400 \text{ км}$.)

Решение.

3. Дано:

$h = 2R_З$

$M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг

$R_З = 6400$ км

$G \approx 6.67 \cdot 10^{-11}$ Н$\cdot$м$^2$/кг$^2$ (гравитационная постоянная)

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 1000 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6$ м

Найти:

$\text{v}$ - скорость спутника

Решение:

Спутник движется по круговой орбите. Это движение происходит под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает спутнику центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения равна произведению массы спутника на его центростремительное ускорение.

$F_g = F_c$

Сила всемирного тяготения $F_g$ вычисляется по формуле:

$F_g = G \frac{M_З \cdot m}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса спутника, $\text{r}$ — радиус орбиты спутника.

Центростремительная сила $F_c$ равна:

$F_c = \frac{m v^2}{r}$

Приравниваем эти две силы:

$G \frac{M_З \cdot m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Сокращаем массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{r}$:

$G \frac{M_З}{r} = v^2$

Отсюда выражаем скорость спутника $\text{v}$:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Радиус орбиты $\text{r}$ — это расстояние от центра Земли до спутника. Он равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью Земли $\text{h}$.

$r = R_З + h$

По условию задачи, высота орбиты $\text{h}$ равна двум радиусам Земли ($h = 2R_З$), следовательно:

$r = R_З + 2R_З = 3R_З$

Подставим это выражение для радиуса орбиты в формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{3R_З}}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{3 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}}}$

$v = \sqrt{\frac{40.02 \cdot 10^{13}}{19.2 \cdot 10^6}} \sqrt{\frac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{кг}}} = \sqrt{2.084375 \cdot 10^7} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v = \sqrt{20.84375 \cdot 10^6} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 4.566 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округлим результат и переведем в км/с:

$v \approx 4570 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 4.57 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Ответ: скорость искусственного спутника Земли равна примерно 4.57 км/с.