Номер 3, страница 26 - гдз по физике 9 класс самостоятельные и контрольные работы Марон, Марон

Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел. Самостоятельные работы. СР-22. Условия равновесия тел. Центр тяжести тела. Вариант 2 - номер 3, страница 26.

Условие.

3. Две одинаковые по размеру металлические пластинки — свинцовая и железная — скреплены так, как показано на рисунке 34. Определите положение центра тяжести конструкции.

Рис. 34

Решение.

Дано:

Две пластины одинакового размера: свинцовая и железная.

Плотность свинца $\rho_{св} = 11300 \text{ кг/м}^3$.

Плотность железа $\rho_{жел} = 7800 \text{ кг/м}^3$.

Обозначим длину каждой пластины как $\text{L}$.

Найти:

Положение центра тяжести конструкции $x_{ц}$.

Решение:

Поскольку пластины одинаковы по размеру, их объемы равны. Обозначим объем каждой пластины как $\text{V}$. Центр тяжести каждой однородной пластины находится в ее геометрическом центре.

Для определения положения общего центра тяжести введем систему координат. Расположим начало координат ($x=0$) на стыке двух пластин. Ось $\text{Ox}$ направим вдоль конструкции, так что свинцовая пластина будет занимать область от $-L$ до $\text{0}$, а железная — от $\text{0}$ до $\text{L}$.

В этой системе координат центр тяжести свинцовой пластины будет иметь координату $x_{св} = -L/2$, а центр тяжести железной пластины — $x_{жел} = L/2$.

Массы пластин можно выразить через их плотности и объем:

Масса свинцовой пластины: $m_{св} = \rho_{св} V$.

Масса железной пластины: $m_{жел} = \rho_{жел} V$.

Координата центра тяжести системы из двух тел находится по формуле:

$x_{ц} = \frac{m_{св} x_{св} + m_{жел} x_{жел}}{m_{св} + m_{жел}}$

Подставим в формулу выражения для масс и координат:

$x_{ц} = \frac{(\rho_{св} V) \cdot (-L/2) + (\rho_{жел} V) \cdot (L/2)}{\rho_{св} V + \rho_{жел} V}$

Сократим объем $\text{V}$, так как он присутствует в каждом слагаемом числителя и знаменателя:

$x_{ц} = \frac{\rho_{св} (-L/2) + \rho_{жел} (L/2)}{\rho_{св} + \rho_{жел}} = \frac{L}{2} \frac{\rho_{жел} - \rho_{св}}{\rho_{жел} + \rho_{св}}$

Теперь подставим числовые значения плотностей свинца и железа:

$x_{ц} = \frac{L}{2} \cdot \frac{7800 - 11300}{7800 + 11300} = \frac{L}{2} \cdot \frac{-3500}{19100} \approx \frac{L}{2} \cdot (-0.1832)$

$x_{ц} \approx -0.092 L$

Знак «минус» в ответе означает, что центр тяжести конструкции смещен от стыка в сторону более плотного материала — свинца. Таким образом, центр тяжести находится внутри свинцовой пластины на расстоянии примерно $0.092$ ее длины от места соединения с железной пластиной.

Ответ: Центр тяжести конструкции находится в свинцовой пластине на расстоянии, равном примерно 0.092 длины одной пластины, от стыка с железной пластиной.