Номер 117, страница 25 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Относительность движения - номер 117, страница 25.

Условие.

► 117. Ученик проводит карандашом прямую линию на листе бумаги. Как изменится вид траектории, если лист бумаги при этом будет перемещаться в направлении, перпендикулярном движению карандаша? Зависит ли вид траектории от угла между направлениями движения карандаша и листа бумаги?

Решение.

Траектория, которую карандаш оставляет на листе бумаги, представляет собой траекторию движения грифеля карандаша относительно этого листа. Эта траектория определяется векторной разностью скорости карандаша относительно неподвижного наблюдателя (например, стола) и скорости листа бумаги относительно того же наблюдателя.

Как изменится вид траектории, если лист бумаги при этом будет перемещаться в направлении, перпендикулярном движению карандаша?

Пусть скорость карандаша относительно стола равна $\vec{v}_{к}$, а скорость бумаги — $\vec{v}_{б}$. По условию, карандаш движется прямолинейно (будем считать, с постоянной скоростью), а бумага перемещается перпендикулярно этому движению (также с постоянной скоростью). Это означает, что векторы скоростей $\vec{v}_{к}$ и $\vec{v}_{б}$ постоянны по модулю и направлению, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Скорость карандаша относительно бумаги $\vec{v}_{отн}$ находится по принципу сложения скоростей:
$\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{к} - \vec{v}_{б}$

Поскольку $\vec{v}_{к}$ и $\vec{v}_{б}$ — постоянные векторы, их векторная разность $\vec{v}_{отн}$ также является постоянным вектором (имеет постоянные модуль и направление). Движение тела с постоянной скоростью происходит по прямой линии. Следовательно, траектория карандаша на листе бумаги останется прямой линией.

Однако направление этой линии изменится. Если бы бумага была неподвижна ($\vec{v}_{б} = 0$), то линия была бы направлена вдоль вектора $\vec{v}_{к}$. При движении бумаги линия будет направлена вдоль вектора $\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{к} - \vec{v}_{б}$. Так как векторы $\vec{v}_{к}$ и $(-\vec{v}_{б})$ перпендикулярны и не равны нулю, их векторная сумма будет направлена под углом к каждому из них. Таким образом, вместо прямой линии, параллельной направлению движения карандаша, на бумаге получится прямая линия, наклоненная к этому направлению.

Ответ: Траектория останется прямой линией, но изменит свое направление. Она будет наклонена под некоторым углом к направлению движения карандаша (в системе отсчета, связанной со столом).

Зависит ли вид траектории от угла между направлениями движения карандаша и листа бумаги?

Да, зависит. Как было показано выше, траектория движения карандаша на листе бумаги определяется вектором относительной скорости $\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{к} - \vec{v}_{б}$. Если скорости карандаша и бумаги постоянны, то траектория всегда будет прямой линией (или точкой, если $\vec{v}_{к} = \vec{v}_{б}$).

Однако и направление, и модуль вектора относительной скорости $\vec{v}_{отн}$ зависят от угла $\alpha$ между векторами $\vec{v}_{к}$ и $\vec{v}_{б}$. Модуль относительной скорости, например, определяется по теореме косинусов для векторов:
$|\vec{v}_{отн}| = \sqrt{|\vec{v}_{к}|^2 + |\vec{v}_{б}|^2 - 2|\vec{v}_{к}||\vec{v}_{б}|\cos\alpha}$

Направление вектора $\vec{v}_{отн}$, которое и задает наклон линии на бумаге, также напрямую зависит от угла $\alpha$. Изменяя угол $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$, мы будем получать прямые линии с разной ориентацией на листе бумаги. Например, при $\alpha = 0^\circ$ (со-направленное движение) и $\alpha = 180^\circ$ (противоположно направленное движение) линия будет параллельна направлению движения карандаша. При $\alpha = 90^\circ$ линия будет наклонена под определенным углом, который зависит от соотношения скоростей. Для любого другого угла наклон будет своим. Таким образом, конкретный вид траектории (то есть, наклон и "скорость" прорисовки прямой линии на бумаге) напрямую зависит от угла между направлениями движения.

Ответ: Да, вид траектории зависит от угла. Хотя траектория при постоянных скоростях всегда будет прямой линией, её наклон и длина (за одно и то же время) на листе бумаги будут разными для разных углов между направлениями движения карандаша и листа.