Страница 25 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

► 115. Человек едет на велосипеде по ровной прямой дороге. Нарисуйте примерную траекторию, описываемую педалью велосипеда, рассматривая её движение относительно земли. В каком направлении движется рама велосипеда относительно верхней части колеса? Какую траекторию при движении описывают центр колеса велосипеда, рама, педали, седло относительно прямолинейной дороги?

Нарисуйте примерную траекторию, описываемую педалью велосипеда, рассматривая её движение относительно земли.

Движение педали является сложным, так как оно складывается из двух движений: вращательного движения вокруг оси каретки (центра системы шатунов) и поступательного движения вместе со всем велосипедом. В системе отсчёта, связанной с землёй, траектория педали представляет собой кривую, называемую трохоидой (разновидность циклоиды). Эта кривая выглядит как последовательность плавных арок или петель, вытянутых в направлении движения. Вид кривой (с петлями или без) зависит от соотношения скорости вращения педалей и скорости движения велосипеда. Так как рисунок предоставить невозможно, можно описать её как волнообразную линию, поднимающуюся и опускающуюся по мере движения велосипеда вперёд.

Ответ: Траектория педали относительно земли — трохоида (циклоидальная кривая).

В каком направлении движется рама велосипеда относительно верхней части колеса?

Для определения направления движения рамы относительно верхней части колеса сравним их скорости относительно земли. Пусть велосипед движется вперёд со скоростью $v$. Тогда скорость рамы относительно земли также равна $v$ и направлена вперёд: $\vec{v}_{рамы} = \vec{v}$.

Скорость верхней точки колеса относительно земли складывается из скорости поступательного движения центра колеса ($\vec{v}$) и линейной скорости вращения этой точки вокруг центра колеса. При качении без проскальзывания линейная скорость вращения точек на ободе по модулю равна $v$. В верхней точке колеса вектор этой скорости также направлен вперёд. Таким образом, скорость верхней точки колеса относительно земли равна $\vec{v}_{верх} = \vec{v} + \vec{v} = 2\vec{v}$.

Относительная скорость рамы относительно верхней точки колеса находится как разность их векторов скорости: $\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{рамы} - \vec{v}_{верх} = \vec{v} - 2\vec{v} = -\vec{v}$.

Отрицательный знак означает, что вектор относительной скорости направлен в сторону, противоположную вектору скорости $\vec{v}$, то есть назад.

Ответ: Рама велосипеда относительно верхней части колеса движется в направлении, противоположном движению велосипеда (назад).

Какую траекторию при движении описывают центр колеса велосипеда, рама, педали, седло относительно прямолинейной дороги?

При движении велосипеда по ровной прямолинейной дороге траектории его различных частей относительно дороги будут следующими. Центр колеса велосипеда движется поступательно на постоянной высоте, поэтому его траектория — это прямая линия, параллельная дороге. Рама и седло, будучи жёстко связанными с осями колёс, также движутся поступательно, и траектории их точек также являются прямыми линиями, параллельными дороге. Педали, в свою очередь, совершают сложное движение: они вращаются вокруг оси каретки и одновременно движутся поступательно вместе с велосипедом. В результате их траектория представляет собой циклоидальную кривую (трохоиду).

Ответ: Центр колеса, рама и седло описывают прямые линии, параллельные дороге. Педали описывают трохоидальные (циклоидальные) кривые.

► 116. Изобретите для бегунов тренажёр такого устройства, чтобы, находясь рядом с неподвижно стоящим на земле тренером, пробежать марафонскую дистанцию.

Решение

Для решения этой задачи необходимо использовать принцип относительности движения. Чтобы бегун мог пробежать большую дистанцию, оставаясь при этом на одном месте относительно тренера (и земли), нужно, чтобы опора, по которой он бежит, двигалась под ним в противоположном направлении с той же скоростью. Таким образом, перемещение бегуна относительно опоры будет скомпенсировано перемещением опоры относительно земли.

Скорость бегуна относительно земли ($v_{бз}$) является векторной суммой его скорости относительно подвижной поверхности ($v_{бп}$) и скорости поверхности относительно земли ($v_{пз}$). Если бегун бежит вперёд, а поверхность движется назад, то в проекции на ось движения: $v_{бз} = v_{бп} - v_{пз}$. Чтобы бегун оставался на месте, его скорость относительно земли должна быть равна нулю: $v_{бз} = 0$. Следовательно, скорость бегуна относительно поверхности должна быть равна скорости поверхности относительно земли: $v_{бп} = v_{пз}$.

Тренажёр, реализующий этот принцип, — это беговая дорожка. Она состоит из замкнутой ленты, натянутой на валы, которая приводится в движение двигателем. Лента движется назад со скоростью $v_{пз}$. Бегун, находясь на ленте, бежит вперёд со скоростью $v_{бп}$. Поддерживая свою скорость равной скорости ленты, он остаётся неподвижным относительно тренера. При этом его мышцы совершают работу, аналогичную обычному бегу. Встроенный компьютер тренажёра отслеживает скорость ленты и время тренировки, вычисляя "пройденное" расстояние $S = v_{пз} \cdot t$. Установив на счётчике целевое расстояние, равное марафонской дистанции (42 195 метров), бегун сможет выполнить задачу.

Другим, более оригинальным вариантом такого тренажёра могла бы стать большая вращающаяся горизонтальная платформа (диск). Бегун должен бежать по её краю в направлении, противоположном вращению. Если его скорость относительно платформы будет равна линейной скорости края платформы, он также будет оставаться неподвижным для наблюдателя на земле.

Ответ:

Тренажёр, позволяющий пробежать марафонскую дистанцию, оставаясь рядом с неподвижным тренером, — это беговая дорожка. Принцип её работы основан на компенсации движения бегуна движением опоры: бегун бежит вперёд по полотну тренажёра, а само полотно движется назад с той же скоростью. В результате скорость бегуна относительно земли равна нулю. Встроенный в тренажёр счётчик расстояния позволяет отмерить и зафиксировать пробег марафонской дистанции.

► 117. Ученик проводит карандашом прямую линию на листе бумаги. Как изменится вид траектории, если лист бумаги при этом будет перемещаться в направлении, перпендикулярном движению карандаша? Зависит ли вид траектории от угла между направлениями движения карандаша и листа бумаги?

Траектория, которую карандаш оставляет на листе бумаги, представляет собой траекторию движения грифеля карандаша относительно этого листа. Эта траектория определяется векторной разностью скорости карандаша относительно неподвижного наблюдателя (например, стола) и скорости листа бумаги относительно того же наблюдателя.

Как изменится вид траектории, если лист бумаги при этом будет перемещаться в направлении, перпендикулярном движению карандаша?

Пусть скорость карандаша относительно стола равна $\vec{v}_{к}$, а скорость бумаги — $\vec{v}_{б}$. По условию, карандаш движется прямолинейно (будем считать, с постоянной скоростью), а бумага перемещается перпендикулярно этому движению (также с постоянной скоростью). Это означает, что векторы скоростей $\vec{v}_{к}$ и $\vec{v}_{б}$ постоянны по модулю и направлению, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Скорость карандаша относительно бумаги $\vec{v}_{отн}$ находится по принципу сложения скоростей:
$\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{к} - \vec{v}_{б}$

Поскольку $\vec{v}_{к}$ и $\vec{v}_{б}$ — постоянные векторы, их векторная разность $\vec{v}_{отн}$ также является постоянным вектором (имеет постоянные модуль и направление). Движение тела с постоянной скоростью происходит по прямой линии. Следовательно, траектория карандаша на листе бумаги останется прямой линией.

Однако направление этой линии изменится. Если бы бумага была неподвижна ($\vec{v}_{б} = 0$), то линия была бы направлена вдоль вектора $\vec{v}_{к}$. При движении бумаги линия будет направлена вдоль вектора $\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{к} - \vec{v}_{б}$. Так как векторы $\vec{v}_{к}$ и $(-\vec{v}_{б})$ перпендикулярны и не равны нулю, их векторная сумма будет направлена под углом к каждому из них. Таким образом, вместо прямой линии, параллельной направлению движения карандаша, на бумаге получится прямая линия, наклоненная к этому направлению.

Ответ: Траектория останется прямой линией, но изменит свое направление. Она будет наклонена под некоторым углом к направлению движения карандаша (в системе отсчета, связанной со столом).

Зависит ли вид траектории от угла между направлениями движения карандаша и листа бумаги?

Да, зависит. Как было показано выше, траектория движения карандаша на листе бумаги определяется вектором относительной скорости $\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{к} - \vec{v}_{б}$. Если скорости карандаша и бумаги постоянны, то траектория всегда будет прямой линией (или точкой, если $\vec{v}_{к} = \vec{v}_{б}$).

Однако и направление, и модуль вектора относительной скорости $\vec{v}_{отн}$ зависят от угла $\alpha$ между векторами $\vec{v}_{к}$ и $\vec{v}_{б}$. Модуль относительной скорости, например, определяется по теореме косинусов для векторов:
$|\vec{v}_{отн}| = \sqrt{|\vec{v}_{к}|^2 + |\vec{v}_{б}|^2 - 2|\vec{v}_{к}||\vec{v}_{б}|\cos\alpha}$

Направление вектора $\vec{v}_{отн}$, которое и задает наклон линии на бумаге, также напрямую зависит от угла $\alpha$. Изменяя угол $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$, мы будем получать прямые линии с разной ориентацией на листе бумаги. Например, при $\alpha = 0^\circ$ (со-направленное движение) и $\alpha = 180^\circ$ (противоположно направленное движение) линия будет параллельна направлению движения карандаша. При $\alpha = 90^\circ$ линия будет наклонена под определенным углом, который зависит от соотношения скоростей. Для любого другого угла наклон будет своим. Таким образом, конкретный вид траектории (то есть, наклон и "скорость" прорисовки прямой линии на бумаге) напрямую зависит от угла между направлениями движения.

Ответ: Да, вид траектории зависит от угла. Хотя траектория при постоянных скоростях всегда будет прямой линией, её наклон и длина (за одно и то же время) на листе бумаги будут разными для разных углов между направлениями движения карандаша и листа.

► 118. Две линейки движутся одна по поверхности другой во взаимно перпендикулярных направлениях. Как перемещается точка их пересечения относительно каждой из линеек; относительно поверхности стола?

Для анализа движения введем декартову систему координат OXY, связанную с неподвижной поверхностью стола. Пусть первая линейка движется со скоростью $\vec{v}_1$ вдоль оси OX, а вторая линейка — со скоростью $\vec{v}_2$ вдоль оси OY. Для простоты будем считать, что край первой линейки всегда параллелен оси OY, а край второй линейки — параллелен оси OX. Тогда в момент времени $t$ положение края первой линейки можно описать уравнением $x = v_1 t$, а положение края второй — уравнением $y = v_2 t$ (при условии, что в начальный момент $t=0$ края линеек пересекались в начале координат).

Точка пересечения P в любой момент времени $t$ имеет координаты, удовлетворяющие обоим уравнениям: $P(x_P, y_P) = (v_1 t, v_2 t)$. Из этого следует, что скорость точки пересечения относительно стола является постоянным вектором $\vec{v}_P = (v_1, v_2)$.

Чтобы определить движение точки пересечения P относительно какой-либо из линеек, необходимо перейти в систему отсчета (СО), связанную с этой линейкой. Скорость точки P в СО, связанной с линейкой, равна разности скоростей точки P и самой линейки в неподвижной СО (относительно стола) согласно закону сложения скоростей.

Для первой линейки, ее система отсчета движется со скоростью $\vec{v}_1 = (v_1, 0)$ относительно стола. Скорость точки пересечения относительно первой линейки ($\vec{v}_{P/1}$) равна:

$\vec{v}_{P/1} = \vec{v}_P - \vec{v}_1 = (v_1, v_2) - (v_1, 0) = (0, v_2) = \vec{v}_2$

Это означает, что для наблюдателя, находящегося на первой линейке, точка пересечения движется вдоль этой линейки со скоростью, равной скорости второй линейки.

Аналогично, для второй линейки, ее система отсчета движется со скоростью $\vec{v}_2 = (0, v_2)$ относительно стола. Скорость точки пересечения относительно второй линейки ($\vec{v}_{P/2}$) равна:

$\vec{v}_{P/2} = \vec{v}_P - \vec{v}_2 = (v_1, v_2) - (0, v_2) = (v_1, 0) = \vec{v}_1$

Таким образом, для наблюдателя на второй линейке точка пересечения движется вдоль нее со скоростью, равной скорости первой линейки.

Ответ: Относительно каждой из линеек точка их пересечения движется вдоль этой линейки со скоростью, равной скорости другой линейки.

Как было установлено, радиус-вектор точки пересечения в системе отсчета, связанной с поверхностью стола, изменяется со временем по закону $\vec{r}_P(t) = (v_1 t, v_2 t)$. Скорость этой точки постоянна и равна:

$\vec{v}_P = \frac{d\vec{r}_P}{dt} = (v_1, v_2) = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$

Поскольку вектор скорости постоянен, точка пересечения движется относительно стола прямолинейно и равномерно. Её скорость равна векторной сумме скоростей линеек, а модуль скорости (скорость движения) равен $v_P = |\vec{v}_P| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$.

Ответ: Относительно поверхности стола точка пересечения движется прямолинейно и равномерно со скоростью, которая является векторной суммой скоростей двух линеек.

119. Система отсчёта жёстко связана с лифтом. В каком из приведённых ниже случаев систему отсчёта можно считать инерциальной? Лифт: а) свободно падает; б) движется равномерно вверх; в) движется ускоренно вверх; г) движется замедленно вверх; д) движется равномерно вниз?

Решение

Инерциальная система отсчёта (ИСО) — это система отсчёта, в которой выполняется первый закон Ньютона (закон инерции). Согласно этому закону, тело, на которое не действуют силы или действие сил скомпенсировано, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Любая система отсчёта, движущаяся относительно ИСО с постоянной скоростью (то есть с нулевым ускорением), также является инерциальной. Если же система отсчёта движется с ускорением, она является неинерциальной. За инерциальную систему отсчёта в данной задаче примем систему, связанную с Землёй.

Рассмотрим каждый из предложенных случаев:

а) свободно падает

При свободном падении лифт движется с ускорением свободного падения $ \vec{a} = \vec{g} $. Поскольку ускорение не равно нулю, система отсчёта, связанная с лифтом, является неинерциальной.

Ответ: систему отсчёта нельзя считать инерциальной.

б) движется равномерно вверх

Равномерное движение означает, что вектор скорости постоянен ($ \vec{v} = \text{const} $), а ускорение равно нулю ($ \vec{a} = 0 $). Система отсчёта, связанная с лифтом, движется без ускорения относительно Земли, следовательно, она является инерциальной.

Ответ: систему отсчёта можно считать инерциальной.

в) движется ускоренно вверх

По условию, лифт движется с ускорением ($ \vec{a} \neq 0 $). Следовательно, связанная с ним система отсчёта является неинерциальной.

Ответ: систему отсчёта нельзя считать инерциальной.

г) движется замедленно вверх

Движение с замедлением также является движением с ускорением (вектор ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости). Так как ускорение не равно нулю ($ \vec{a} \neq 0 $), система отсчёта является неинерциальной.

Ответ: систему отсчёта нельзя считать инерциальной.

д) движется равномерно вниз

Как и в случае б), равномерное движение означает, что скорость постоянна, а ускорение равно нулю ($ \vec{a} = 0 $). Направление движения не влияет на инерциальность системы. Следовательно, данная система отсчёта является инерциальной.

Ответ: систему отсчёта можно считать инерциальной.

120. Система отсчёта связана с автомобилем. Будет ли она инерциальной, если автомобиль движется: а) равномерно и прямолинейно по горизонтальному шоссе; б) ускоренно по горизонтальному шоссе; в) равномерно, поворачивая на улицу, расположенную под прямым углом; г) равномерно в гору; д) равномерно с горы; е) ускоренно с горы?

Инерциальная система отсчёта (ИСО) — это система отсчёта, в которой выполняется первый закон Ньютона: любое тело, на которое не действуют силы (или действие сил скомпенсировано), находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Любая система отсчёта, движущаяся относительно ИСО с постоянной скоростью, также является инерциальной. Система отсчёта, движущаяся с ускорением, является неинерциальной. Ускорение $ \vec{a} $ — это векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости $ \vec{v} $. Ускорение отлично от нуля, если изменяется либо модуль скорости, либо её направление, либо и то, и другое.

а) В этом случае автомобиль движется равномерно ($ v = const $) и прямолинейно. Это означает, что его вектор скорости $ \vec{v} $ постоянен. Следовательно, ускорение автомобиля равно нулю ($ \vec{a} = 0 $). Система отсчёта, связанная с автомобилем, движется без ускорения относительно Земли (которую в данном контексте можно считать инерциальной системой), а значит, она сама является инерциальной.

Ответ: Да, будет инерциальной.

б) В условии прямо сказано, что автомобиль движется ускоренно. Это означает, что его скорость изменяется, и его ускорение не равно нулю ($ \vec{a} \neq 0 $). Система отсчёта, связанная с ускоренно движущимся телом, является неинерциальной.

Ответ: Нет, не будет инерциальной.

в) Автомобиль движется равномерно, то есть модуль его скорости постоянен ($ |\vec{v}| = const $). Однако, совершая поворот, он изменяет направление своего движения. Изменение направления вектора скорости означает наличие ускорения (в данном случае — центростремительного). Так как ускорение не равно нулю ($ \vec{a} \neq 0 $), система отсчёта, связанная с автомобилем, является неинерциальной.

Ответ: Нет, не будет инерциальной.

г) Движение равномерно ($ v = const $) и в гору (по прямой линии). В этом случае и модуль, и направление скорости постоянны. Вектор скорости $ \vec{v} $ не изменяется, следовательно, ускорение равно нулю ($ \vec{a} = 0 $). Система отсчёта, связанная с автомобилем, будет инерциальной.

Ответ: Да, будет инерциальной.

д) Движение равномерно ($ v = const $) и с горы (по прямой линии). Как и в предыдущем случае, вектор скорости $ \vec{v} $ постоянен, а ускорение равно нулю ($ \vec{a} = 0 $). Система отсчёта будет инерциальной.

Ответ: Да, будет инерциальной.

е) Автомобиль движется ускоренно, что по определению означает наличие ненулевого ускорения ($ \vec{a} \neq 0 $). Следовательно, связанная с ним система отсчёта является неинерциальной.

Ответ: Нет, не будет инерциальной.

121. Поезд движется относительно Земли прямолинейно и равномерно, а относительно автомобиля — равноускоренно. Является ли инерциальной система отсчёта, связанная с автомобилем? Поясните свой ответ.

Решение

Система отсчёта, связанная с автомобилем, не является инерциальной.

Пояснение:

1. Инерциальной системой отсчёта (ИСО) называется система, в которой выполняется закон инерции (первый закон Ньютона): тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют другие тела или действие этих тел скомпенсировано. Любая система отсчёта, которая движется относительно ИСО с постоянной скоростью (прямолинейно и равномерно), также является инерциальной. Система отсчёта, которая движется с ускорением относительно ИСО, является неинерциальной.

2. В задачах такого типа систему отсчёта, связанную с Землёй, принято считать инерциальной.

3. По условию, поезд движется относительно Земли (ИСО) прямолинейно и равномерно. Следовательно, система отсчёта, связанная с поездом, также является инерциальной.

4. Относительно автомобиля поезд движется равноускоренно. Это означает, что ускорение поезда в системе отсчёта автомобиля не равно нулю ($ \vec{a}_{поезд/авто} \ne 0 $). По закону сложения ускорений, ускорение поезда относительно Земли равно векторной сумме его ускорения относительно автомобиля и ускорения автомобиля относительно Земли:

$ \vec{a}_{поезд/Земля} = \vec{a}_{поезд/авто} + \vec{a}_{авто/Земля} $

5. Поскольку поезд движется относительно Земли равномерно, его ускорение в этой системе отсчёта равно нулю ($ \vec{a}_{поезд/Земля} = 0 $). Подставим это в формулу:

$ 0 = \vec{a}_{поезд/авто} + \vec{a}_{авто/Земля} $

Отсюда следует, что ускорение автомобиля относительно Земли:

$ \vec{a}_{авто/Земля} = - \vec{a}_{поезд/авто} $

6. Так как $ \vec{a}_{поезд/авто} \ne 0 $, то и $ \vec{a}_{авто/Земля} \ne 0 $. Это означает, что автомобиль движется с ускорением относительно инерциальной системы отсчёта (Земли). Следовательно, система отсчёта, связанная с автомобилем, является неинерциальной.

Ответ: Нет, система отсчёта, связанная с автомобилем, не является инерциальной, поскольку она движется с ускорением относительно инерциальной системы отсчёта, связанной с Землёй.

122. Парашютист спускается, двигаясь равномерно и прямолинейно. Действие каких сил компенсируется? Сделайте рисунок.

Решение

Поскольку парашютист спускается равномерно и прямолинейно, его скорость постоянна ($ \vec{v} = \text{const} $), а ускорение равно нулю ($ \vec{a} = 0 $). Согласно первому закону Ньютона, это означает, что равнодействующая всех сил, приложенных к парашютисту, равна нулю. На парашютиста действуют две основные силы в вертикальном направлении: сила тяжести $ \vec{F}_{т} $, направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха $ \vec{F}_{сопр} $, направленная вертикально вверх.

Условие равенства равнодействующей силы нулю в векторной форме записывается так:

$ \vec{F}_{т} + \vec{F}_{сопр} = 0 $

Это означает, что векторы сил равны по модулю и противоположны по направлению. Если направить ось OY вертикально вниз, то в проекции на эту ось уравнение примет вид:

$ F_{т} - F_{сопр} = 0 $

Откуда следует, что модули сил равны:

$ F_{т} = F_{сопр} $

Таким образом, действие силы тяжести, которая тянет парашютиста к Земле, полностью компенсируется (уравновешивается) действием силы сопротивления воздуха.

На рисунке схематически изображен парашютист и действующие на него силы.

Векторы силы тяжести $ \vec{F}_{т} $ и силы сопротивления воздуха $ \vec{F}_{сопр} $ направлены в противоположные стороны и имеют одинаковую длину, что отражает равенство их модулей.

Ответ: При равномерном и прямолинейном спуске парашютиста действие силы тяжести, направленной вертикально вниз, компенсируется равной ей по модулю и противоположной по направлению силой сопротивления воздуха.