Страница 21 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

89. К. Э. Циолковский в книге «Вне Земли», рассматривая полёт ракеты, писал: «Через 10 с она была от зрителя на расстоянии 5 км». С каким ускорением двигалась ракета и какую скорость она приобрела?

Дано:

$t = 10$ с

$s = 5$ км

$v_0 = 0$ м/с (так как ракета начинает полет)

Перевод в систему СИ:

$s = 5 \text{ км} = 5 \cdot 1000 \text{ м} = 5000$ м

Найти:

$a$ — ?

$v$ — ?

Решение:

Полет ракеты рассматривается как равноускоренное движение из состояния покоя ($v_0 = 0$).

С каким ускорением двигалась ракета

Для нахождения ускорения используем формулу пути при равноускоренном движении:

$s = v_0 t + \frac{a t^2}{2}$

Поскольку начальная скорость $v_0 = 0$, формула упрощается:

$s = \frac{a t^2}{2}$

Выразим ускорение $a$ из этой формулы:

$a = \frac{2s}{t^2}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{2 \cdot 5000 \text{ м}}{(10 \text{ с})^2} = \frac{10000 \text{ м}}{100 \text{ с}^2} = 100 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение ракеты составляло $100 \text{ м/с}^2$.

Какую скорость она приобрела

Скорость в конце заданного промежутка времени при равноускоренном движении определяется по формуле:

$v = v_0 + at$

Так как $v_0 = 0$, то:

$v = at$

Подставим найденное значение ускорения и время:

$v = 100 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ с} = 1000 \text{ м/с}$

Ответ: ракета приобрела скорость $1000 \text{ м/с}$ (или 1 км/с).

► 90. Проанализируйте графики, приведённые на рисунке 31. Есть ли между ними какая-либо связь?

Рис. 31

Дано:

График зависимости координаты от времени $x(t)$.

График зависимости скорости от времени $v(t)$.

Все величины представлены в системе СИ (координата в метрах, время в секундах).

Найти:

Определить, есть ли связь между представленными графиками.

Решение:

Связь между координатой тела $x$ и его скоростью $v$ заключается в том, что скорость является производной от координаты по времени, то есть $v(t) = \frac{dx}{dt}$. Для прямолинейного равномерного движения, которое на графике $x(t)$ изображается в виде отрезков прямой, скорость постоянна и вычисляется как отношение изменения координаты $\Delta x$ к промежутку времени $\Delta t$, за который это изменение произошло:

$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

Чтобы установить, описывают ли данные графики одно и то же движение, мы можем рассчитать скорость на каждом участке движения, используя график $x(t)$, и сравнить полученные результаты со значениями, показанными на графике $v(t)$.

Участок времени от 0 с до 2 с

На этом интервале, согласно первому графику, координата тела линейно возрастает от $x_1 = 0$ м до $x_2 = 80$ м. Скорость движения на этом участке постоянна и равна:

$v_1 = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{80 \text{ м} - 0 \text{ м}}{2 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 40 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

На втором графике, $v(t)$, в этом же временном интервале скорость постоянна и равна $40$ м/с. Значения совпадают.

Участок времени от 2 с до 4 с

На этом интервале, согласно графику $x(t)$, координата тела не изменяется: $x = 80$ м. Это означает, что тело находится в состоянии покоя.

Скорость движения на этом участке:

$v_2 = \frac{80 \text{ м} - 80 \text{ м}}{4 \text{ с} - 2 \text{ с}} = 0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

На графике $v(t)$ в этом интервале скорость также равна $0$ м/с. Значения совпадают.

Участок времени от 4 с до 6 с

На этом интервале, согласно графику $x(t)$, координата тела линейно уменьшается от $x_3 = 80$ м до $x_4 = 0$ м. Тело движется в направлении, противоположном оси $x$.

Скорость движения на этом участке:

$v_3 = \frac{x_4 - x_3}{t_4 - t_3} = \frac{0 \text{ м} - 80 \text{ м}}{6 \text{ с} - 4 \text{ с}} = -40 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

На графике $v(t)$ для этого интервала скорость постоянна и равна $-40$ м/с. Значения совпадают.

Так как на всех участках движения значения скорости, вычисленные по графику $x(t)$, полностью совпадают со значениями на графике $v(t)$, можно заключить, что оба графика описывают одно и то же движение одного и того же тела.

Ответ: Да, между графиками существует прямая физическая связь. График зависимости скорости от времени $v(t)$ является производной от графика зависимости координаты от времени $x(t)$. Оба графика описывают одно и то же движение тела: с 0 до 2 с — равномерное движение со скоростью 40 м/с, с 2 до 4 с — состояние покоя (скорость 0 м/с), с 4 до 6 с — равномерное движение в противоположном направлении со скоростью -40 м/с.

► 91. Предложите свой проект определения средней скорости движения от дома до школы. Приведите конкретные расчёты.

Проект определения средней скорости движения от дома до школы

Цель проекта — экспериментально определить среднюю скорость движения на пути от дома до школы.

Для определения средней скорости необходимо знать весь пройденный путь и всё время движения. Средняя скорость вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — полное время в пути.

План действий:

1. Измерение пути $S_{общ}$. Для определения расстояния от дома до школы можно использовать онлайн-картографический сервис (например, Яндекс.Карты или Google Maps). Необходимо ввести адрес дома и школы и построить маршрут (пешеходный или с использованием транспорта). Сервис покажет точную длину маршрута. Альтернативный способ — использовать мобильное приложение с функцией GPS-трекинга во время реального пути в школу.

2. Измерение времени $t_{общ}$. Для измерения времени потребуется секундомер (например, в смартфоне). Необходимо запустить его в момент начала движения от дома и остановить точно в момент прибытия к школе. Так как время в пути может меняться из-за ожидания транспорта, светофоров и т.п., для большей точности рекомендуется провести замеры в течение нескольких дней и вычислить среднее арифметическое значение времени.

3. Расчёт средней скорости $v_{ср}$. Полученные значения расстояния $S_{общ}$ и времени $t_{общ}$ подставить в формулу. Важно привести все величины к согласованным единицам измерения (например, метры и секунды для получения скорости в м/с, или километры и часы для км/ч).

Конкретные расчёты

Проведём пример расчёта на основе гипотетических данных, которые могли бы быть получены в ходе выполнения проекта.

Дано:

Путь от дома до школы: $S_{общ} = 2,4$ км
Время движения: $t_{общ} = 20$ мин

Перевод в систему СИ:
$S_{общ} = 2,4 \text{ км} = 2400 \text{ м}$
$t_{общ} = 20 \text{ мин} = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200 \text{ с}$

Найти:

$v_{ср}$ — ?

Решение:

Средняя скорость определяется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.

Подставим значения в системе СИ:

$v_{ср} = \frac{2400 \text{ м}}{1200 \text{ с}} = 2 \text{ м/с}$

Для удобства восприятия можно выразить скорость в километрах в час. Для этого нужно расстояние в километрах разделить на время в часах.

$t_{общ} = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$

$v_{ср} = \frac{2,4 \text{ км}}{1/3 \text{ ч}} = 2,4 \cdot 3 \text{ км/ч} = 7,2 \text{ км/ч}$

Ответ: средняя скорость движения от дома до школы в данном примере составляет 2 м/с или 7,2 км/ч.

► 92. Фантастический проект и современность. В книге о путешествии к Луне Ж. Верн писал, что, для того чтобы совершить полёт на Луну, необходима пушка длиной $275 \, \text{м}$. Снаряд при вылете из неё должен иметь скорость $16 \, \text{км/с}$. Во сколько раз ускорение снаряда больше ускорения свободного падения? Движение снаряда считать равноускоренным. Опишите современные способы полёта космического аппарата к Луне. Какую космическую скорость сообщают телу для полёта на Луну?

Во сколько раз ускорение снаряда больше ускорения свободного падения?

Дано:

Длина ствола пушки (путь): $S = 275$ м
Начальная скорость снаряда: $v_0 = 0$ м/с
Конечная скорость снаряда: $v = 16$ км/с
Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$v = 16 \text{ км/с} = 16 \times 1000 \text{ м/с} = 16000 \text{ м/с}$

Найти:

Отношение ускорения снаряда $a$ к ускорению свободного падения $g$: $\frac{a}{g}$

Решение:

Движение снаряда в стволе пушки считается равноускоренным. Для равноускоренного движения без начальной скорости справедлива формула, связывающая пройденный путь, конечную скорость и ускорение: $S = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$ Поскольку начальная скорость $v_0 = 0$, формула упрощается: $S = \frac{v^2}{2a}$ Выразим из этой формулы ускорение снаряда $a$: $a = \frac{v^2}{2S}$ Подставим числовые значения и произведем расчет: $a = \frac{(16000 \text{ м/с})^2}{2 \times 275 \text{ м}} = \frac{256000000 \text{ м²/с²}}{550 \text{ м}} \approx 465455 \text{ м/с²}$ Теперь найдем, во сколько раз это ускорение больше ускорения свободного падения: $\frac{a}{g} = \frac{465455 \text{ м/с²}}{9,8 \text{ м/с²}} \approx 47495$ Округлим результат для большей наглядности.

Ответ: Ускорение снаряда примерно в 47500 раз больше ускорения свободного падения.

Опишите современные способы полёта космического аппарата к Луне.

Современные полёты к Луне кардинально отличаются от проекта, описанного Жюлем Верном, и осуществляются при помощи многоступенчатых ракет-носителей. Процесс полёта можно разделить на несколько ключевых этапов:
1. Старт и выход на околоземную орбиту. Мощная ракета-носитель стартует вертикально с Земли, постепенно наклоняя траекторию, и выводит космический аппарат на низкую опорную орбиту. По мере набора высоты и скорости отработавшие ступени ракеты отделяются и сбрасываются, чтобы уменьшить общую массу.
2. Перелётная траектория. Находясь на околоземной орбите, в точно рассчитанный момент времени включается разгонный блок или маршевый двигатель самого аппарата. Этот импульс увеличивает скорость корабля, переводя его с круговой орбиты на вытянутую эллиптическую траекторию, которая ведёт к Луне.
3. Коррекция курса. Полёт до Луны занимает несколько дней. В это время навигационная система отслеживает траекторию, и при необходимости производятся небольшие коррекции курса с помощью двигателей малой тяги.
4. Выход на орбиту Луны. Приближаясь к Луне, аппарат должен сбросить скорость, чтобы быть захваченным её гравитационным полем. Для этого он разворачивается и включает двигатели на торможение, после чего переходит на окололунную орбиту.
5. Посадка (для спускаемых миссий). Если целью является посадка, от орбитального модуля отделяется специальный посадочный аппарат, который с помощью тормозных двигателей совершает мягкую посадку на поверхность Луны.

Ответ: Современные способы полёта к Луне основаны на использовании многоступенчатых ракет для вывода аппарата на околоземную орбиту, последующего разгона для выхода на траекторию к Луне и торможения для перехода на её орбиту.

Какую космическую скорость сообщают телу для полёта на Луну?

Для полёта к Луне космическому аппарату необходимо сообщить скорость, близкую ко второй космической скорости. Вторая космическая скорость ($v_2$) для Земли составляет примерно $11,2$ км/с. Это скорость, которую нужно придать телу у поверхности планеты, чтобы оно преодолело её гравитационное притяжение и стало спутником Солнца.
Поскольку Луна является спутником Земли, аппарату не нужно полностью покидать земное гравитационное поле. Поэтому для перелёта на траекторию к Луне с низкой околоземной орбиты (где скорость уже составляет около $7,8$ км/с) аппарат разгоняют до скорости около $10,9 - 11,1$ км/с. Это значение очень близко ко второй космической скорости, но всё же немного меньше её.

Ответ: Для полёта на Луну телу сообщают скорость, близкую ко второй космической скорости (около 11,2 км/с).