Страница 22 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

► 93. В опыте с наклонной плоскостью Галилей установил, что пути, проходимые шаром за одну, две, три и т. д. секунды, относятся как $1 : 4 : 9 : 16 : 25...$ Определите, какую зависимость между пройденным шаром путём и временем получил в опыте учёный. Что можно сказать о характере движения?

Дано:

В опыте Галилея с шаром, скатывающимся по наклонной плоскости, были получены следующие данные:

Время движения: $t_1 = 1$ с, $t_2 = 2$ с, $t_3 = 3$ с, $t_4 = 4$ с, $t_5 = 5$ с...

Отношение путей, пройденных за эти промежутки времени: $s_1 : s_2 : s_3 : s_4 : s_5 : ... = 1 : 4 : 9 : 16 : 25 : ...$

Найти:

1. Зависимость между пройденным путём $s$ и временем $t$.

2. Характер движения шара.

Решение:

1. Зависимость между пройденным шаром путём и временем

Проанализируем соотношение между временем и пройденным путём. Обозначим путь, пройденный за 1 секунду, как $s_0$. Тогда, согласно данным из условия:

За время $t_1 = 1$ с, путь $s_1 = 1 \cdot s_0$

За время $t_2 = 2$ с, путь $s_2 = 4 \cdot s_0$

За время $t_3 = 3$ с, путь $s_3 = 9 \cdot s_0$

За время $t_4 = 4$ с, путь $s_4 = 16 \cdot s_0$

и так далее.

Заметим, что числа в правой части отношения $(1, 4, 9, 16, 25, ...)$ являются квадратами натуральных чисел $(1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, ...)$, которые соответствуют времени движения в секундах.

Таким образом, мы можем записать:

$s_1 = s_0 \cdot 1^2 = s_0 \cdot t_1^2$

$s_2 = s_0 \cdot 2^2 = s_0 \cdot t_2^2$

$s_3 = s_0 \cdot 3^2 = s_0 \cdot t_3^2$

Обобщая, для любого момента времени $t$ пройденный путь $s$ выражается формулой:

$s(t) = s_0 \cdot t^2$

Здесь $s_0$ — это некоторый постоянный коэффициент, зависящий от условий опыта (например, от угла наклона плоскости). Таким образом, пройденный шаром путь прямо пропорционален квадрату времени движения.

Ответ: Галилей получил квадратичную зависимость: пройденный шаром путь прямо пропорционален квадрату времени его движения, что можно выразить формулой $s = kt^2$, где $k$ — постоянный коэффициент.

2. Характер движения

Рассмотрим уравнение для пути при равноускоренном движении из состояния покоя:

$s = v_0t + \frac{at^2}{2}$

Поскольку шар начинает движение из состояния покоя, его начальная скорость $v_0 = 0$. Тогда уравнение принимает вид:

$s = \frac{at^2}{2}$

Сравнивая это уравнение с зависимостью, полученной из опыта Галилея ($s = kt^2$), мы видим, что они имеют одинаковый вид. Коэффициент пропорциональности $k$ в опыте Галилея соответствует половине ускорения шара: $k = \frac{a}{2}$.

Тот факт, что пройденный путь пропорционален квадрату времени, означает, что ускорение $a$ является постоянной величиной ($a = 2k = \text{const}$). Движение с постоянным ускорением называется равноускоренным.

Ответ: Движение шара является равноускоренным, то есть происходит с постоянным ускорением.

► 94. В лабораторном журнале М. В. Ломоносова приведены следующие данные о результатах измерений путей, пройденных падающими телами: «...тела, падая, проходят в первую секунду 15,5 рейнских фута, в две — 62, в три — 139,5, в четыре — 248, в пять — 387,5 фута». Рассчитайте по этим данным ускорение свободного падения (один рейнский фут равен 31,39 см).

Дано:

Данные из журнала о пути $h'$, пройденном падающим телом за время $t$:

$t_1 = 1$ с, $h'_1 = 15,5$ рейнских футов

$t_2 = 2$ с, $h'_2 = 62$ рейнских футов

$t_3 = 3$ с, $h'_3 = 139,5$ рейнских футов

$t_4 = 4$ с, $h'_4 = 248$ рейнских футов

$t_5 = 5$ с, $h'_5 = 387,5$ рейнских футов

1 рейнский фут = 31,39 см

Перевод в СИ:

1 рейнский фут = 0,3139 м

Найти:

$g$ - ускорение свободного падения.

Решение:

Путь, пройденный телом при свободном падении без начальной скорости ($v_0 = 0$), определяется формулой:

$h = \frac{gt^2}{2}$

где $h$ — пройденный путь в метрах, $g$ — ускорение свободного падения, $t$ — время падения в секундах.

Выразим из этой формулы ускорение свободного падения:

$g = \frac{2h}{t^2}$

Чтобы получить наиболее точный результат, рассчитаем значение $g$ для каждого из пяти измерений, а затем найдём среднее значение. Предварительно переведем пройденный путь из рейнских футов в метры.

1. Для $t_1 = 1$ с:

$h_1 = 15,5 \cdot 0,3139 \text{ м} = 4,86545 \text{ м}$

$g_1 = \frac{2 \cdot 4,86545 \text{ м}}{(1 \text{ с})^2} = 9,7309 \text{ м/с}^2$

2. Для $t_2 = 2$ с:

$h_2 = 62 \cdot 0,3139 \text{ м} = 19,4618 \text{ м}$

$g_2 = \frac{2 \cdot 19,4618 \text{ м}}{(2 \text{ с})^2} = \frac{38,9236}{4} \text{ м/с}^2 = 9,7309 \text{ м/с}^2$

3. Для $t_3 = 3$ с:

$h_3 = 139,5 \cdot 0,3139 \text{ м} = 43,78905 \text{ м}$

$g_3 = \frac{2 \cdot 43,78905 \text{ м}}{(3 \text{ с})^2} = \frac{87,5781}{9} \text{ м/с}^2 = 9,7309 \text{ м/с}^2$

4. Для $t_4 = 4$ с:

$h_4 = 248 \cdot 0,3139 \text{ м} = 77,8472 \text{ м}$

$g_4 = \frac{2 \cdot 77,8472 \text{ м}}{(4 \text{ с})^2} = \frac{155,6944}{16} \text{ м/с}^2 = 9,7309 \text{ м/с}^2$

5. Для $t_5 = 5$ с:

$h_5 = 387,5 \cdot 0,3139 \text{ м} = 121,63625 \text{ м}$

$g_5 = \frac{2 \cdot 121,63625 \text{ м}}{(5 \text{ с})^2} = \frac{243,2725}{25} \text{ м/с}^2 = 9,7309 \text{ м/с}^2$

Все вычисления приводят к одному и тому же результату. Это означает, что данные в журнале были не результатами реального эксперимента с погрешностями, а теоретическими расчетами. Поэтому усреднять значения не нужно, так как они идентичны. Округлим полученное значение до трех значащих цифр, что соответствует точности исходных данных (например, 15,5).

$g \approx 9,73 \text{ м/с}^2$

Ответ: $g \approx 9,73 \text{ м/с}^2$.

95. Докажите, что скорость равнопеременного движения в середине произвольного интервала времени равна полусумме начальной и конечной скоростей на этом интервале.

Дано:

Равнопеременное движение ($a = \text{const}$).

Временной интервал от $t_1$ до $t_2$.

$v_1$ – скорость в момент времени $t_1$.

$v_2$ – скорость в момент времени $t_2$.

Найти:

Доказать, что $v_{mid} = \frac{v_1 + v_2}{2}$, где $v_{mid}$ – скорость в середине временного интервала.

Решение:

Зависимость скорости от времени при равнопеременном движении описывается линейной функцией:

$v(t) = v_0 + at$,

где $v_0$ – скорость в начальный момент времени ($t=0$), а $a$ – постоянное ускорение.

Рассмотрим произвольный интервал времени от $t_1$ до $t_2$.

Скорость в начале этого интервала, в момент времени $t_1$, равна:

$v_1 = v(t_1) = v_0 + at_1$

Скорость в конце этого интервала, в момент времени $t_2$, равна:

$v_2 = v(t_2) = v_0 + at_2$

Найдем полусумму начальной и конечной скоростей на данном интервале:

$\frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{(v_0 + at_1) + (v_0 + at_2)}{2} = \frac{2v_0 + a(t_1 + t_2)}{2} = v_0 + a \frac{t_1 + t_2}{2}$

Теперь найдем скорость в середине данного временного интервала. Середина интервала времени от $t_1$ до $t_2$ – это момент времени $t_{mid} = \frac{t_1 + t_2}{2}$.

Скорость в этот момент времени $v_{mid}$ будет равна:

$v_{mid} = v(t_{mid}) = v_0 + a \cdot t_{mid} = v_0 + a \frac{t_1 + t_2}{2}$

Сравнивая полученные выражения для полусуммы скоростей и для скорости в середине интервала, видим, что они тождественно равны:

$v_{mid} = v_0 + a \frac{t_1 + t_2}{2}$

$\frac{v_1 + v_2}{2} = v_0 + a \frac{t_1 + t_2}{2}$

Следовательно, $v_{mid} = \frac{v_1 + v_2}{2}$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что скорость равнопеременного движения в середине произвольного интервала времени ($v_{mid}$) равна полусумме начальной ($v_1$) и конечной ($v_2$) скоростей на этом интервале, то есть $v_{mid} = \frac{v_1 + v_2}{2}$.

► 96. Проверьте своего друга на быстроту реакции. Для этого метровую линейку, расположенную вертикально, прижмите рукой к стене. Объясните другу, что вы отпустите линейку и она начнёт падать. Ладонью он должен остановить её. Измерив путь, пройденный линейкой, и вычислив время её падения, определите быстроту реакции друга (ускорение свободного падения считать равным $9.8 \text{ м/с}^2$).

Для определения времени реакции вашего друга необходимо провести эксперимент, описанный в задаче. Время реакции будет равно времени падения линейки до момента, когда друг её остановит. Поскольку задача является практической, для вычислений возьмем примерное значение пути, пройденного линейкой, которое нужно измерить в ходе эксперимента.

Дано:

Ускорение свободного падения: $g = 9,8 \, \text{м/с}^2$
Начальная скорость: $v_0 = 0$
Путь, пройденный линейкой (измеренное значение): $h = 20 \, \text{см}$

Перевод в СИ:

$h = 20 \, \text{см} = 0,2 \, \text{м}$

Найти:

Время реакции $t$ — ?

Решение:

Падение линейки — это свободное падение, то есть равноускоренное движение без начальной скорости. Путь, пройденный телом при таком движении, определяется по формуле:
$h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$
Так как начальная скорость $v_0 = 0$, формула принимает вид:
$h = \frac{gt^2}{2}$
Выразим из этой формулы время $t$. Для этого сначала выразим $t^2$:
$t^2 = \frac{2h}{g}$
Затем извлечем квадратный корень:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
Это и есть итоговая формула для расчета времени реакции. Подставим в неё наши данные (расстояние $h$ должно быть в метрах):
$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,2 \, \text{м}}{9,8 \, \text{м/с}^2}} = \sqrt{\frac{0,4}{9,8}} \, \text{с} \approx \sqrt{0,0408} \, \text{с} \approx 0,202 \, \text{с}$

Ответ: Время реакции друга $t$ вычисляется по формуле $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$, где $h$ — расстояние, которое пролетела линейка (в метрах), а $g = 9,8 \, \text{м/с}^2$. При $h=20$ см время реакции составит приблизительно $0,2$ с.

97. Жук ползёт с постоянной скоростью по вращающемуся диску от центра к краю. Нарисуйте траектории его движения относительно диска и земли.

Для определения траекторий движения жука необходимо рассмотреть его движение в двух разных системах отсчета: в системе, связанной с диском (подвижной), и в системе, связанной с землей (неподвижной).

относительно диска

В системе отсчета, связанной с диском, сам диск считается неподвижным. Жук, согласно условию, ползет с постоянной скоростью от центра к краю. Такое движение является прямолинейным и равномерным. Следовательно, его траектория в этой системе отсчета будет представлять собой прямую линию, совпадающую с радиусом диска, по которому он движется.

Ответ: Траектория движения жука относительно диска — это прямая линия (радиус), направленная от центра к краю диска.

относительно земли

В системе отсчета, связанной с землей, движение жука является сложным, так как оно является результатом сложения двух движений:

1. Движение самого жука относительно диска (относительное движение). Оно происходит с постоянной скоростью $\vec{v}_{отн}$, направленной вдоль радиуса от центра диска.
2. Вращательное движение диска вместе с жуком вокруг центра (переносное движение). Скорость точки диска, в которой находится жук, $\vec{v}_{пер}$, направлена по касательной к окружности. Ее величина растет с увеличением расстояния $r$ от центра: $v_{пер} = \omega r$, где $\omega$ — постоянная угловая скорость вращения диска.

Абсолютная скорость жука относительно земли $\vec{v}_{абс}$ в любой момент времени равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:

$\vec{v}_{абс} = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пер}$

Так как жук ползет с постоянной скоростью $v$ от центра, его расстояние от центра $r$ линейно зависит от времени $t$: $r(t) = v \cdot t$. За это же время диск поворачивается на угол $\theta(t) = \omega \cdot t$.

Чтобы найти уравнение траектории, можно исключить время $t$ из этих двух соотношений. Из первого $t = r/v$, из второго $t = \theta/\omega$. Приравнивая их, получаем:

$\frac{r}{v} = \frac{\theta}{\omega} \implies r = \frac{v}{\omega} \theta$

Это уравнение в полярных координатах описывает кривую, известную как спираль Архимеда. Траектория начинается в центре диска и раскручивается наружу по мере движения жука к краю.

Ответ: Траектория движения жука относительно земли — это раскручивающаяся спираль (спираль Архимеда), начинающаяся в центре диска.

98. a) Какова траектория капель дождя, скатывающихся по стеклу движущегося автомобиля, относительно водителя; относительно земли? б) С равномерно летящего самолёта сбросили груз. Какова траектория полёта груза в системах отсчёта «самолёт», «земля»? в) Какова траектория движения точек винта вертолёта по отношению к лётчику; по отношению к земле?

а) Решение:

Форма траектории движения тела зависит от выбора системы отсчета, относительно которой это движение рассматривается.
Относительно водителя: Водитель находится в системе отсчета, связанной с автомобилем. В этой системе отсчета лобовое стекло неподвижно. Капли дождя, которые уже попали на стекло, скатываются по нему вниз под действием силы тяжести. Таким образом, для водителя их траектория будет представлять собой прямую линию.
Относительно земли: Наблюдатель, стоящий на земле, видит, что капля участвует одновременно в двух движениях: поступательном движении вместе с автомобилем (например, с постоянной горизонтальной скоростью $\vec{v}_{а}$) и в движении по стеклу вниз (ускоренном, под действием силы тяжести, со скоростью $\vec{v}_{к}$). Результирующая скорость капли в любой момент времени будет векторной суммой этих скоростей: $\vec{v} = \vec{v}_{а} + \vec{v}_{к}$. Так как движение по стеклу является ускоренным, вектор $\vec{v}_{к}$ изменяется со временем, что приводит к изменению направления результирующего вектора скорости $\vec{v}$. Следовательно, траектория будет криволинейной. Если принять, что автомобиль движется равномерно вдоль оси $X$ ($x(t) = v_{а}t$), а капля скатывается равноускоренно вдоль оси $Y$ ($y(t) = y_0 - \frac{at^2}{2}$), то уравнение траектории примет вид $y(x) = y_0 - \frac{a}{2v_{а}^2}x^2$, что является уравнением параболы.

Ответ: Относительно водителя траектория капель — прямая линия. Относительно земли — кривая линия (ветвь параболы).

б) Решение:

В системе отсчета «самолёт»: Предположим, что самолёт летит равномерно и прямолинейно. В момент сбрасывания груз по закону инерции имеет ту же горизонтальную скорость, что и самолёт. Следовательно, его горизонтальная скорость относительно самолёта равна нулю. После сбрасывания, пренебрегая сопротивлением воздуха, на груз действует только сила тяжести, направленная вертикально вниз. Таким образом, в системе отсчета, связанной с самолётом, груз будет двигаться по прямой вертикально вниз.
В системе отсчета «земля»: Для наблюдателя на земле в начальный момент времени груз обладает горизонтальной скоростью, равной скорости самолёта ($v_x = const$), и находится на некоторой высоте $H$. Его движение можно описать как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного по вертикали. Координаты груза изменяются со временем по законам:
$x(t) = v_x t$
$y(t) = H - \frac{gt^2}{2}$
где $g$ — ускорение свободного падения. Исключив время $t$ из этих уравнений ($t = x/v_x$), получим уравнение траектории:
$y(x) = H - \frac{g}{2v_x^2} x^2$
Это каноническое уравнение параболы, ветви которой направлены вниз.

Ответ: В системе отсчета «самолёт» траектория груза — прямая вертикальная линия. В системе отсчета «земля» — парабола.

в) Решение:

По отношению к лётчику: Лётчик находится в системе отсчета, жестко связанной с корпусом вертолёта. В этой системе ось вращения несущего винта неподвижна. Любая точка лопасти винта находится на постоянном расстоянии от этой оси и вращается вокруг неё. Следовательно, траекторией движения любой точки винта для лётчика является окружность.
По отношению к земле: Для наблюдателя на земле движение точек винта является сложным, так как оно складывается из вращения винта и поступательного движения всего вертолёта.
• Если вертолёт неподвижно висит в воздухе, его поступательная скорость равна нулю, и траектория точек винта также будет окружностью.
• Если вертолёт движется прямолинейно и равномерно (например, горизонтально), то траектория точек винта будет представлять собой циклоидальную кривую (трохоиду).
• Если вертолёт движется вперёд и одновременно набирает высоту или снижается, траектория точек винта будет винтовой линией (спиралью).

Ответ: По отношению к лётчику траектория точек винта — окружность. По отношению к земле — сложная кривая (окружность, циклоида или винтовая линия в зависимости от характера движения вертолёта).

99. Велосипедист движется по шоссейной дороге. Какая часть обода колеса велосипеда движется: а) медленнее всего; б) быстрее всего?

Движение любой точки на ободе колеса велосипеда является сложным и складывается из двух движений: поступательного движения вместе с центром колеса (осью) и вращательного движения вокруг этой оси. Скорость любой точки обода относительно дороги равна векторной сумме скорости центра колеса $\vec{v}_{ц}$ и линейной скорости вращения точки обода $\vec{v}_{вр}$ относительно центра.

Обозначим скорость велосипеда (и центра колеса) как $v$. При условии качения колеса без проскальзывания, модуль линейной скорости любой точки на ободе относительно центра также равен $v$.

а) медленнее всего;

Для точки обода, которая в данный момент касается дороги (нижняя точка), вектор поступательной скорости $\vec{v}_{ц}$ направлен вперед, а вектор вращательной скорости $\vec{v}_{вр}$ направлен в противоположную сторону, назад. Так как их модули равны ($|\vec{v}_{ц}| = |\vec{v}_{вр}| = v$), их векторная сумма равна нулю.

$V_{нижняя} = v - v = 0$

Следовательно, точка обода, соприкасающаяся с дорогой, мгновенно неподвижна относительно земли. Это и есть самая медленная точка.

Ответ: Медленнее всего движется та часть обода, которая в данный момент времени касается дороги. Ее скорость относительно дороги равна нулю.

б) быстрее всего?

Для самой верхней точки обода вектор поступательной скорости $\vec{v}_{ц}$ и вектор вращательной скорости $\vec{v}_{вр}$ направлены в одну и ту же сторону – вперед, по направлению движения велосипеда. Поэтому их модули складываются.

$V_{верхняя} = v + v = 2v$

Скорость верхней точки обода в два раза больше скорости самого велосипеда. Это самая быстрая точка.

Ответ: Быстрее всего движется та часть обода, которая в данный момент времени находится в самой верхней точке. Ее скорость в два раза превышает скорость движения велосипеда.

100. Группа самолётов выполняет одновременно фигуры высшего пилотажа, сохраняя заданный строй (рис. 32). Что можно сказать о движении самолётов друг относительно друга?

Рис. 32

По условию задачи, группа самолётов выполняет фигуры высшего пилотажа, «сохраняя заданный строй». Это ключевое условие, которое означает, что взаимное расположение самолётов, то есть расстояния и направления между любыми двумя самолётами в группе, остаются неизменными с течением времени.

Движение является относительным. Чтобы описать движение самолётов друг относительно друга, необходимо выбрать систему отсчёта, связанную с одним из них. Если мы мысленно «сядем» в кабину одного из самолётов, то для наблюдателя в этой кабине все остальные самолёты строя будут оставаться в тех же самых положениях. Их координаты в этой системе отсчёта не будут изменяться.

Состояние, при котором положение тела в выбранной системе отсчёта не меняется с течением времени, называется покоем. Следовательно, несмотря на то, что вся группа самолётов движется с большими скоростями и ускорениями относительно Земли, друг относительно друга они находятся в состоянии покоя. Их относительные скорости равны нулю.

Ответ: Самолёты находятся в состоянии покоя друг относительно друга.