Страница 16 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

58. Рассчитайте модуль ускорения автомобиля, движущегося со скоростью 36 км/ч, если он останавливается в течение 10 с.

Дано:

Начальная скорость автомобиля, $v_0 = 36 \text{ км/ч}$

Время остановки, $t = 10 \text{ с}$

Конечная скорость автомобиля, $v = 0 \text{ м/с}$ (так как автомобиль останавливается)

Перевод данных в систему СИ:

Для проведения расчетов все величины должны быть в одной системе единиц. Переведем начальную скорость из км/ч в м/с. Для этого необходимо значение скорости в км/ч умножить на 1000 (метров в километре) и разделить на 3600 (секунд в часе).

$v_0 = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$

Найти:

Модуль ускорения $|a|$.

Решение:

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости тела. При равноускоренном движении (в данном случае, равнозамедленном) оно вычисляется по формуле:

$a = \frac{v - v_0}{t}$

где $v$ - конечная скорость, $v_0$ - начальная скорость, а $t$ - время, за которое это изменение произошло.

Подставим в формулу значения из условия задачи, предварительно переведенные в систему СИ:

$a = \frac{0 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = \frac{-10}{10} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = -1 \text{ м/с}^2$

Знак "минус" в результате означает, что вектор ускорения направлен противоположно вектору начальной скорости, то есть происходит торможение.

По условию задачи требуется найти модуль ускорения. Модуль — это абсолютная (неотрицательная) величина.

$|a| = |-1 \text{ м/с}^2| = 1 \text{ м/с}^2$

Ответ: $1 \text{ м/с}^2$.

59. За какое время автобус, двигаясь с ускорением $0,4 \text{ м/с}^2$, увеличит свою скорость с $12 \text{ м/с}$ до $20 \text{ м/с}$?

Дано:

Ускорение, $a = 0,4 \text{ м/с²}$

Начальная скорость, $v_0 = 12 \text{ м/с}$

Конечная скорость, $v = 20 \text{ м/с}$

Все величины представлены в Международной системе единиц (СИ), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Время, $t$

Решение:

Задача описывает равноускоренное прямолинейное движение. Ускорение тела определяется как отношение изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло. Формула для ускорения выглядит следующим образом:

$a = \frac{v - v_0}{t}$

где $a$ — ускорение, $v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость, а $t$ — время движения.

Для того чтобы найти время $t$, необходимо выразить его из данной формулы:

$t = \frac{v - v_0}{a}$

Теперь подставим известные значения в формулу и произведем вычисления:

$t = \frac{20 \text{ м/с} - 12 \text{ м/с}}{0,4 \text{ м/с²}} = \frac{8 \text{ м/с}}{0,4 \text{ м/с²}} = 20 \text{ с}$

Ответ: 20 с.

60. Автомобиль, движущийся с ускорением $1 \text{ м/с}^2$, остановился через $10 \text{ с}$. Определите его скорость в начале торможения.

Дано:

Ускорение, $a = -1 \text{ м/с}^2$ (знак "минус" указывает на то, что это торможение, и ускорение направлено против начальной скорости)

Время торможения, $t = 10 \text{ с}$

Конечная скорость, $v = 0 \text{ м/с}$ (автомобиль остановился)

Найти:

Начальная скорость, $v_0$ - ?

Решение:

Скорость тела при равноускоренном движении описывается формулой:

$v = v_0 + at$

где $v$ – конечная скорость, $v_0$ – начальная скорость, $a$ – ускорение, $t$ – время.

Для того чтобы найти начальную скорость $v_0$, выразим ее из этой формулы:

$v_0 = v - at$

Теперь подставим известные значения в полученное выражение:

$v_0 = 0 \text{ м/с} - (-1 \text{ м/с}^2) \cdot 10 \text{ с}$

$v_0 = 0 \text{ м/с} + 10 \text{ м/с}$

$v_0 = 10 \text{ м/с}$

Ответ: 10 м/с.

61. С каким ускорением двигались санки, если они скатились без начальной скорости с горы длиной 36 м за 60 с?

Дано:

$s = 36$ м

$t = 60$ с

$v_0 = 0$ м/с

Найти:

$a$ - ?

Решение:

Для определения ускорения санок воспользуемся формулой пути для равноускоренного прямолинейного движения. Эта формула связывает пройденный путь $s$, начальную скорость $v_0$, время $t$ и ускорение $a$.

Формула имеет вид:

$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Согласно условию задачи, санки скатились с горы без начальной скорости, что означает $v_0 = 0$. Подставив это значение в формулу, мы получим упрощенное уравнение:

$s = \frac{at^2}{2}$

Теперь из этого уравнения нам нужно выразить искомую величину — ускорение $a$. Для этого умножим обе части уравнения на 2 и разделим на $t^2$:

$2s = at^2$

$a = \frac{2s}{t^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$a = \frac{2 \cdot 36 \text{ м}}{(60 \text{ с})^2} = \frac{72 \text{ м}}{3600 \text{ с}^2}$

Выполним вычисление:

$a = 0.02 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение санок составляло $0.02 \text{ м/с}^2$.

62. Какую скорость развивает мотоциклист за 15 с, двигаясь из состояния покоя с ускорением $1,3 \text{ м/с}^2$?

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с (так как движение начинается из состояния покоя)

Время движения, $t = 15$ с

Ускорение, $a = 1,3$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Конечную скорость, $v$

Решение:

Для нахождения конечной скорости тела при равноускоренном прямолинейном движении используется формула:

$v = v_0 + at$

где $v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение, $t$ — время движения.

Поскольку мотоциклист начинает движение из состояния покоя, его начальная скорость $v_0$ равна нулю. Таким образом, формула упрощается:

$v = at$

Подставим известные значения в формулу:

$v = 1,3 \text{ м/с²} \cdot 15 \text{ с} = 19,5 \text{ м/с}$

Таким образом, через 15 секунд мотоциклист разовьет скорость 19,5 м/с.

Ответ: 19,5 м/с.

63. За какое время ракета приобретает первую космическую скорость $7,9 \text{ км/с}$, двигаясь с ускорением $50 \text{ м/с}^2$?

Дано:

Конечная скорость (первая космическая скорость) $v = 7,9 \text{ км/с}$

Ускорение $a = 50 \text{ м/с}^2$

Начальная скорость $v_0 = 0 \text{ м/с}$ (подразумевается, что ракета стартует из состояния покоя)

Перевод в систему СИ:

$v = 7,9 \text{ км/с} = 7,9 \cdot 1000 \text{ м/с} = 7900 \text{ м/с}$

Найти:

Время $t$

Решение:

Движение ракеты является равноускоренным. Для нахождения времени, за которое ракета достигнет нужной скорости, воспользуемся формулой скорости при равноускоренном прямолинейном движении:

$v = v_0 + at$

Поскольку ракета начинает движение из состояния покоя, ее начальная скорость $v_0 = 0$. Тогда формула принимает вид:

$v = at$

Из этой формулы выразим время $t$:

$t = \frac{v}{a}$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$t = \frac{7900 \text{ м/с}}{50 \text{ м/с}^2} = 158 \text{ с}$

Ответ: 158 с.

64. Рассчитайте длину взлётной полосы, если скорость самолёта при взлёте 300 км/ч, а время разгона 40 с.

Дано:

Конечная скорость самолёта $v = 300 \text{ км/ч}$

Время разгона $t = 40 \text{ с}$

Начальная скорость $v_0 = 0 \text{ м/с}$ (разгон из состояния покоя)

Перевод в систему СИ:

$v = 300 \text{ км/ч} = 300 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{3000}{36} \text{ м/с} = \frac{500}{6} \text{ м/с}$

Найти:

Длину взлётной полосы $S$.

Решение:

Движение самолёта при разгоне по взлётной полосе является равноускоренным. Длина взлётной полосы — это путь $S$, пройденный самолётом за время разгона $t$.

Для нахождения пути при равноускоренном движении, зная начальную и конечную скорости, а также время, можно использовать формулу:

$S = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$

Поскольку самолёт начинает разгон из состояния покоя, его начальная скорость $v_0 = 0$. Подставив это значение в формулу, получаем более простое выражение:

$S = \frac{v}{2} \cdot t$

Теперь подставим в полученную формулу числовые значения, выраженные в системе СИ, и выполним расчёт:

$S = \frac{\frac{500}{6} \text{ м/с}}{2} \cdot 40 \text{ с} = \frac{500}{12} \text{ м/с} \cdot 40 \text{ с} = \frac{20000}{12} \text{ м} = \frac{5000}{3} \text{ м}$

Преобразуем результат в десятичную дробь и округлим до целого значения:

$S \approx 1666,67 \text{ м} \approx 1667 \text{ м}$

Это значение также можно выразить в километрах: $1,67 \text{ км}$.

Ответ: длина взлётной полосы составляет примерно 1667 м.

65. Поезд через $10 \text{ с}$ после начала движения приобретает скорость $0.6 \text{ м/с}$. Через какое время от начала движения скорость поезда станет равной $9 \text{ м/с}$? Какой путь пройдёт поезд за это время?

Дано:

$t_1 = 10$ с

$v_1 = 0.6$ м/с

$v_2 = 9$ м/с

$v_0 = 0$ м/с (поскольку поезд начинает движение)

Найти:

$t_2$ — ?

$S_2$ — ?

Решение:

Поскольку поезд начинает движение и его скорость увеличивается, будем считать его движение равноускоренным. Начальная скорость поезда $v_0 = 0$ м/с.

1. Найдем ускорение поезда ($a$).

Формула скорости при равноускоренном движении имеет вид:

$v = v_0 + at$

Выразим из нее ускорение:

$a = \frac{v - v_0}{t}$

Подставим значения для первого промежутка времени ($t_1 = 10$ с, $v_1 = 0.6$ м/с):

$a = \frac{v_1 - v_0}{t_1} = \frac{0.6 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = 0.06 \text{ м/с}^2$

2. Найдем время ($t_2$), через которое скорость поезда станет равной $v_2 = 9$ м/с.

Используем ту же формулу для скорости, выразив из нее время $t_2$:

$v_2 = v_0 + at_2 \implies t_2 = \frac{v_2 - v_0}{a}$

Подставим известные значения:

$t_2 = \frac{9 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{0.06 \text{ м/с}^2} = \frac{9}{0.06} \text{ с} = 150 \text{ с}$

3. Найдем путь ($S_2$), который поезд пройдет за это время ($t_2$).

Воспользуемся формулой пути при равноускоренном движении:

$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Так как начальная скорость $v_0 = 0$, формула упрощается до:

$S_2 = \frac{a t_2^2}{2}$

Подставим найденные значения ускорения и времени:

$S_2 = \frac{0.06 \text{ м/с}^2 \cdot (150 \text{ с})^2}{2} = \frac{0.06 \cdot 22500}{2} \text{ м} = 0.03 \cdot 22500 \text{ м} = 675 \text{ м}$

Ответ:

Скорость поезда станет равной 9 м/с через 150 с от начала движения. За это время поезд пройдет путь 675 м.

66. Чему равна длина пробега при посадке самолёта, если его посадочная скорость $140 \, \text{км/ч}$, а ускорение при торможении $2 \, \text{м/с}^2$?

Дано:

Начальная (посадочная) скорость $v_0 = 140$ км/ч

Ускорение при торможении $a_{торм} = 2$ м/с²

Конечная скорость $v = 0$ м/с (так как самолёт останавливается)

Перевод в систему СИ:

Скорость: $v_0 = 140 \frac{км}{ч} = 140 \cdot \frac{1000 \ м}{3600 \ с} = \frac{1400}{36} \frac{м}{с} = \frac{350}{9} \frac{м}{с} \approx 38,89 \frac{м}{с}$

Ускорение: так как самолёт тормозит, его ускорение направлено против начальной скорости, поэтому его проекция на ось движения отрицательна: $a = -2$ м/с².

Найти:

Длина пробега $S$.

Решение:

Для нахождения длины пробега (тормозного пути) можно использовать формулу, связывающую путь, начальную и конечную скорости, и ускорение, без использования времени:

$S = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

Подставим числовые значения в данную формулу:

$S = \frac{(0 \frac{м}{с})^2 - (\frac{350}{9} \frac{м}{с})^2}{2 \cdot (-2 \frac{м}{с^2})}$

Выполним вычисления:

$S = \frac{-(\frac{350^2}{9^2}) \frac{м^2}{с^2}}{-4 \frac{м}{с^2}} = \frac{\frac{122500}{81}}{4} \ м$

$S = \frac{122500}{81 \cdot 4} \ м = \frac{122500}{324} \ м \approx 378,086 \ м$

Округлим полученное значение до целого числа.

$S \approx 378 \ м$

Ответ: длина пробега при посадке самолёта равна примерно 378 м.

67. Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, за третью секунду после начала движения прошло 5 м. Найдите ускорение движения и скорость тела в конце третьей секунды.

Дано:

$v_0 = 0$ м/с (движение из состояния покоя)

$\Delta s_3 = 5$ м (путь за третью секунду)

$n = 3$ (третья секунда)

Найти:

$a$ — ? (ускорение движения)

$v_3$ — ? (скорость в конце третьей секунды)

Решение:

Ускорение движения

Поскольку тело движется равноускоренно из состояния покоя, путь, пройденный им за время $t$, можно найти по формуле:

$s(t) = \frac{at^2}{2}$

Путь, пройденный за третью секунду движения, — это разность между путем, пройденным за полные три секунды, и путем, пройденным за первые две секунды:

$\Delta s_3 = s(t=3) - s(t=2)$

Вычислим путь за 3 секунды и за 2 секунды:

$s(3) = \frac{a \cdot (3 \text{ с})^2}{2} = \frac{9a}{2}$

$s(2) = \frac{a \cdot (2 \text{ с})^2}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$

Теперь подставим эти выражения в формулу для пути за третью секунду:

$\Delta s_3 = \frac{9a}{2} - 2a = \frac{9a - 4a}{2} = \frac{5a}{2}$

Согласно условию, $\Delta s_3 = 5$ м. Подставим это значение и найдем ускорение $a$:

$\frac{5a}{2} = 5 \text{ м}$

$5a = 10 \text{ м}$

$a = \frac{10 \text{ м}}{5} = 2 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение движения равно $2 \text{ м/с}^2$.

Скорость тела в конце третьей секунды

Скорость тела при равноускоренном движении из состояния покоя вычисляется по формуле:

$v(t) = at$

Чтобы найти скорость в конце третьей секунды ($t=3$ с), используем найденное значение ускорения $a = 2 \text{ м/с}^2$:

$v_3 = v(3) = 2 \text{ м/с}^2 \cdot 3 \text{ с} = 6 \text{ м/с}$

Ответ: скорость тела в конце третьей секунды равна $6 \text{ м/с}$.

68. При равноускоренном движении с начальной скоростью 5 м/с тело за 3 с прошло 20 м. С каким ускорением двигалось тело? Чему равна его скорость в конце третьей секунды? Какой путь тело прошло за вторую секунду?

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 5 \text{ м/с}$

Время движения $t = 3 \text{ с}$

Пройденный путь $S = 20 \text{ м}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Ускорение $a$

Скорость в конце третьей секунды $v$

Путь за вторую секунду $S_2$

Решение:

С каким ускорением двигалось тело?

Для нахождения ускорения воспользуемся формулой пути при равноускоренном движении:

$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Выразим из этой формулы ускорение $a$:

$S - v_0 t = \frac{at^2}{2}$

$2(S - v_0 t) = at^2$

$a = \frac{2(S - v_0 t)}{t^2}$

Подставим известные значения:

$a = \frac{2(20 \text{ м} - 5 \text{ м/с} \cdot 3 \text{ с})}{(3 \text{ с})^2} = \frac{2(20 \text{ м} - 15 \text{ м})}{9 \text{ с}^2} = \frac{2 \cdot 5 \text{ м}}{9 \text{ с}^2} = \frac{10}{9} \text{ м/с}^2 \approx 1,11 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение тела равно $\frac{10}{9} \text{ м/с}^2$, или примерно $1,11 \text{ м/с}^2$.

Чему равна его скорость в конце третьей секунды?

Скорость тела при равноускоренном движении определяется по формуле:

$v = v_0 + at$

Подставим значения $v_0$, $t=3 \text{ с}$ и найденное ускорение $a$:

$v = 5 \text{ м/с} + \frac{10}{9} \text{ м/с}^2 \cdot 3 \text{ с} = 5 \text{ м/с} + \frac{10}{3} \text{ м/с} = \frac{15}{3} \text{ м/с} + \frac{10}{3} \text{ м/с} = \frac{25}{3} \text{ м/с} \approx 8,33 \text{ м/с}$

Ответ: скорость тела в конце третьей секунды равна $\frac{25}{3} \text{ м/с}$, или примерно $8,33 \text{ м/с}$.

Какой путь тело прошло за вторую секунду?

Путь, пройденный за вторую секунду, равен разности путей, пройденных за две секунды и за одну секунду движения.

$S_2 = S(t=2\text{ с}) - S(t=1\text{ с})$

Сначала найдем путь за 2 секунды:

$S(2) = v_0 t + \frac{at^2}{2} = 5 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ с} + \frac{\frac{10}{9} \text{ м/с}^2 \cdot (2 \text{ с})^2}{2} = 10 \text{ м} + \frac{10 \cdot 4}{9 \cdot 2} \text{ м} = 10 \text{ м} + \frac{20}{9} \text{ м} = \frac{90+20}{9} \text{ м} = \frac{110}{9} \text{ м}$

Теперь найдем путь за 1 секунду:

$S(1) = v_0 t + \frac{at^2}{2} = 5 \text{ м/с} \cdot 1 \text{ с} + \frac{\frac{10}{9} \text{ м/с}^2 \cdot (1 \text{ с})^2}{2} = 5 \text{ м} + \frac{5}{9} \text{ м} = \frac{45+5}{9} \text{ м} = \frac{50}{9} \text{ м}$

Вычислим разность:

$S_2 = S(2) - S(1) = \frac{110}{9} \text{ м} - \frac{50}{9} \text{ м} = \frac{60}{9} \text{ м} = \frac{20}{3} \text{ м} \approx 6,67 \text{ м}$

Ответ: за вторую секунду тело прошло путь $\frac{20}{3} \text{ м}$, или примерно $6,67 \text{ м}$.

69. По графику скорости (рис. 21) определите: а) начальную скорость тела; б) скорость тела через 5 с; в) ускорение тела; г) путь, пройденный телом за 5 с.

Рис. 21

Дано:

График зависимости скорости $v$ от времени $t$.

Все данные представлены в системе СИ (м/с, с), перевод не требуется.

Из графика:

при $t_0 = 0$ с, $v_0 = 0$ м/с

при $t = 5$ с, $v = 5$ м/с

Найти:

а) $v_0$ - начальную скорость тела

б) $v(5)$ - скорость тела через 5 с

в) $a$ - ускорение тела

г) $S$ - путь, пройденный телом за 5 с

Решение:

а) начальную скорость тела

Начальная скорость тела $v_0$ — это скорость в начальный момент времени, то есть при $t=0$. Из графика видно, что при $t=0$ с, скорость $v=0$ м/с.

Ответ: $v_0 = 0$ м/с.

б) скорость тела через 5 с

Чтобы найти скорость тела через 5 с, нужно найти на графике точку, соответствующую моменту времени $t=5$ с, и определить ее ординату (значение по оси $v$). По графику находим, что при $t=5$ с, скорость $v=5$ м/с.

Ответ: $v(5) = 5$ м/с.

в) ускорение тела

График скорости является прямой линией, следовательно, движение равноускоренное, и ускорение постоянно. Ускорение $a$ можно определить как тангенс угла наклона графика к оси времени, или по формуле:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t - t_0}$

Используя значения из графика для моментов времени $t_0 = 0$ с и $t = 5$ с:

$a = \frac{5 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{5 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{5 \text{ м/с}}{5 \text{ с}} = 1 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a = 1$ м/с².

г) путь, пройденный телом за 5 с

Путь, пройденный телом за промежуток времени, численно равен площади фигуры под графиком скорости на этом промежутке. В данном случае фигура — это прямоугольный треугольник, ограниченный графиком скорости, осью времени и прямой $t=5$ с.

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$

Основание треугольника равно $t = 5$ с, а высота равна $v = 5$ м/с.

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ с} \cdot 5 \text{ м/с} = 12.5 \text{ м}$

Также можно воспользоваться формулой пути при равноускоренном движении:

$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Подставляем ранее найденные значения $v_0 = 0$ м/с и $a = 1$ м/с²:

$S = (0 \text{ м/с}) \cdot (5 \text{ с}) + \frac{(1 \text{ м/с}^2) \cdot (5 \text{ с})^2}{2} = 0 + \frac{1 \cdot 25}{2} = 12.5 \text{ м}$

Ответ: $S = 12.5$ м.