Страница 13 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

43. На рисунке 17 представлены графики зависимости координаты прямолинейного движения двух тел от времени. Из предложенного перечня выберите два верных утверждения. Укажите их номера. 1) Скорости тел в момент времени $t = 4$ с выравнялись. 2) В начале наблюдения расстояние между телами было равно 2 м. 3) В момент времени $t = 5$ с скорости тел отличались в 2 раза. 4) В моменты времени $t_1 = 2$ с и $t_2 = 6$ с расстояние между телами было одинаково. 5) Первое тело в течение времени наблюдения $t = 3$ с не двигалось.

Рис. 17

Дано:

Графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для двух тел (I и II).

Из графика:

Тело I:

Начальная координата $x_{0I} = 0$ м.

Координата в момент времени $t = 6$ с: $x_I(6) = 2$ м.

Тело II:

Начальная координата $x_{0II} = 1$ м.

В интервале времени от $t=0$ с до $t=2$ с координата не меняется: $x_{II}(t) = 1$ м.

Координата в момент времени $t = 2$ с: $x_{II}(2) = 1$ м.

Координата в момент времени $t = 6$ с: $x_{II}(6) = 2$ м.

Найти:

Два верных утверждения из предложенного перечня.

Решение:

Для начала определим законы движения для каждого тела. Скорость тела при прямолинейном равномерном движении определяется как тангенс угла наклона графика $x(t)$ к оси времени: $v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$.

Анализ движения тела I:

График движения тела I — прямая линия, проходящая через начало координат. Это означает, что тело движется равномерно и прямолинейно из точки $x=0$.

Найдем скорость тела I:

$v_I = \frac{x_I(6) - x_{0I}}{6 - 0} = \frac{2 \text{ м} - 0 \text{ м}}{6 \text{ с}} = \frac{2}{6} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{1}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Скорость тела I постоянна и равна $\frac{1}{3}$ м/с на всем протяжении времени.

Уравнение движения тела I: $x_I(t) = \frac{1}{3}t$.

Анализ движения тела II:

График движения тела II состоит из двух участков.

1. На интервале времени от $t=0$ с до $t=2$ с график представляет собой горизонтальную прямую $x=1$ м. Это означает, что координата тела не меняется, и его скорость равна нулю.

$v_{II} = 0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$ при $0 \le t \le 2$ с.

2. На интервале времени от $t=2$ с до $t=6$ с график является прямой линией. Тело движется равномерно и прямолинейно.

Найдем скорость тела II на этом участке:

$v_{II} = \frac{x_{II}(6) - x_{II}(2)}{6 - 2} = \frac{2 \text{ м} - 1 \text{ м}}{4 \text{ с}} = \frac{1}{4} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 0.25 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Уравнение движения тела II при $t \ge 2$ с: $x_{II}(t) = x_{II}(2) + v_{II}(t-2) = 1 + \frac{1}{4}(t-2)$.

Теперь проанализируем каждое утверждение.

1) Скорости тел в момент времени t = 4 с выравнялись.

В момент времени $t=4$ с скорость тела I постоянна и равна $v_I = \frac{1}{3}$ м/с.

Момент времени $t=4$ с принадлежит интервалу, где тело II движется равномерно, его скорость $v_{II} = \frac{1}{4}$ м/с.

Сравним скорости: $\frac{1}{3} \approx 0.333$ м/с, а $\frac{1}{4} = 0.25$ м/с. Так как $\frac{1}{3} \neq \frac{1}{4}$, скорости тел не выравнялись. Утверждение неверно.

2) В начале наблюдения расстояние между телами было равно 2 м.

В начале наблюдения ($t=0$):

Координата тела I: $x_I(0) = 0$ м.

Координата тела II: $x_{II}(0) = 1$ м.

Расстояние между телами: $d = |x_{II}(0) - x_I(0)| = |1 - 0| = 1$ м.

Утверждение, что расстояние было равно 2 м, неверно.

3) В момент времени t = 5 с скорости тел отличались в 2 раза.

В момент времени $t=5$ с:

Скорость тела I: $v_I = \frac{1}{3}$ м/с.

Скорость тела II: $v_{II} = \frac{1}{4}$ м/с.

Найдем отношение скоростей: $\frac{v_I}{v_{II}} = \frac{1/3}{1/4} = \frac{4}{3}$.

Скорости отличаются в $\frac{4}{3}$ раза, а не в 2 раза. Утверждение неверно.

4) В моменты времени t₁ = 2 с и t₂ = 6 с расстояние между телами было одинаково.

Найдем расстояние в момент $t_1 = 2$ с:

$x_I(2) = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$ м.

$x_{II}(2) = 1$ м.

$d_1 = |x_{II}(2) - x_I(2)| = |1 - \frac{2}{3}| = \frac{1}{3}$ м.

Найдем расстояние в момент $t_2 = 6$ с:

$x_I(6) = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$ м.

$x_{II}(6) = 2$ м (в этой точке графики пересекаются).

$d_2 = |x_{II}(6) - x_I(6)| = |2 - 2| = 0$ м.

Так как $d_1 = \frac{1}{3}$ м, а $d_2 = 0$ м, расстояния не были одинаковыми. Утверждение неверно.

5) Первое тело в течение времени наблюдения t = 3 с не двигалось.

Первое тело (тело I) движется с постоянной скоростью $v_I = \frac{1}{3}$ м/с. Так как скорость не равна нулю, тело движется в любой момент времени, включая $t=3$ с. Утверждение неверно.

Вывод:

Строгий математический анализ графика и утверждений показывает, что все пять утверждений являются неверными. Вероятнее всего, в условии задачи или в вариантах ответа допущена ошибка. Если необходимо выбрать два наиболее правдоподобных ответа, можно предположить наличие опечаток или неточностей в формулировках. Например, если в утверждении 5 под "не двигалось" понимать "двигалось без ускорения", то оно было бы верным, так как движение тела I равномерное. Аналогично, если в утверждении 4 под "расстояние" подразумевать "ускорение", оно тоже было бы верным, так как на временах $t > 2$ с и $t=6$ с ускорения обоих тел равны нулю. Однако, такие интерпретации выходят за рамки стандартного решения. Основываясь на прямом прочтении, верных утверждений нет.

Принимая во внимание, что подобные задачи в тестах могут содержать неточности, и если предположить, что в утверждении 5 "первое тело" — это опечатка и имелось в виду "второе тело", а время — это интервал от 0 до 2 с, то утверждение стало бы верным. Если предположить, что в утверждении 2 есть опечатка в разметке оси ординат, и начальная координата тела II равна 2, то утверждение 2 стало бы верным.

Ввиду полной некорректности всех утверждений при строгом подходе, однозначное решение задачи невозможно.

Ответ: На основе строгого анализа графика и условия, ни одно из предложенных утверждений не является верным. Задача содержит ошибку.

44. Погрешность измерения скорости при помощи спидометра, изображённого на рисунке 18, равна цене деления его шкалы.

Запишите показания спидометра в км/ч (km/h) с учётом погрешности измерений.

Рис. 18

Дано:

Погрешность измерения скорости $\Delta v$ равна цене деления $C$ шкалы спидометра.

Найти:

Показания спидометра с учётом погрешности измерений.

Решение:

1. Определим цену деления $C$ шкалы спидометра. Для этого выберем два соседних оцифрованных штриха, например, 40 и 60. Разность значений скорости, соответствующих этим штрихам, равна $60 - 40 = 20$ км/ч. Число делений (промежутков) между этими штрихами равно 4. Тогда цена деления равна:

$C = \frac{60 \text{ км/ч} - 40 \text{ км/ч}}{4} = \frac{20 \text{ км/ч}}{4} = 5$ км/ч.

2. По условию, погрешность измерения $\Delta v$ равна цене деления шкалы, следовательно:

$\Delta v = C = 5$ км/ч.

3. Определим показание спидометра $v$. Стрелка прибора указывает на третье деление после отметки 160 км/ч. Следовательно, показание спидометра равно:

$v = 160 \text{ км/ч} + 3 \cdot C = 160 \text{ км/ч} + 3 \cdot 5 \text{ км/ч} = 175$ км/ч.

Запишите показания спидометра в км/ч (km/h) с учётом погрешности измерений.

Результат измерения скорости с учётом погрешности записывается в виде $(v \pm \Delta v)$. Подставив вычисленные значения, получим искомые показания спидометра.

Ответ: $(175 \pm 5)$ км/ч.

* 45. В безветренную погоду капли дождя оставили на ок-не равномерно движущегося трамвая следы, направленные под углом $45^{\circ}$ к вертикали. Найдите скорость трамвая, если скорость падения капель относительно Земли 36 км/ч.

Дано:

Угол следов капель к вертикали, $\alpha = 45^\circ$
Скорость падения капель относительно Земли, $v_к = 36 \text{ км/ч}$

$v_к = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$

Найти:

Скорость трамвая, $v_т$

Решение:

Следы, которые капли дождя оставляют на окне трамвая, направлены вдоль вектора скорости капель относительно трамвая, $\vec{v}_{кт}$. Эта скорость является векторной разностью скорости капель относительно Земли, $\vec{v}_к$, и скорости трамвая относительно Земли, $\vec{v}_т$.
$\vec{v}_{кт} = \vec{v}_к - \vec{v}_т$
Поскольку погода безветренная, скорость капель $\vec{v}_к$ направлена вертикально вниз. Скорость трамвая $\vec{v}_т$ направлена горизонтально. Следовательно, векторы $\vec{v}_к$ и $\vec{v}_т$ взаимно перпендикулярны.
Рассмотрим векторный треугольник скоростей. Вектор относительной скорости $\vec{v}_{кт}$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются векторы скорости капель $\vec{v}_к$ (вертикальный катет) и скорости, равной по модулю и противоположной по направлению скорости трамвая $-\vec{v}_т$ (горизонтальный катет).
Угол $\alpha$ между следами капель и вертикалью — это угол между вектором $\vec{v}_{кт}$ и вектором $\vec{v}_к$.
Из соотношений в прямоугольном треугольнике следует, что тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета (модуля скорости трамвая $v_т$) к прилежащему катету (модулю скорости капель $v_к$):
$\tan(\alpha) = \frac{|-\vec{v}_т|}{|\vec{v}_к|} = \frac{v_т}{v_к}$
Отсюда выразим скорость трамвая:
$v_т = v_к \cdot \tan(\alpha)$
Подставим числовые значения:
$v_т = 36 \text{ км/ч} \cdot \tan(45^\circ)$
Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:
$v_т = 36 \text{ км/ч} \cdot 1 = 36 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость трамвая равна 36 км/ч.

* 46. Гребец переправляется на лодке через реку шириной 400 м, удерживая всё время лодку перпендикулярно волнам. Скорость лодки относительно воды 6 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Сколько времени займёт переправа? На сколько снесёт лодку вниз по течению реки за время переправы? Сколько времени заняла бы эта переправа в неподвижной воде?

Дано:

Ширина реки, $S = 400$ м

Скорость лодки относительно воды, $v_{л} = 6$ км/ч

Скорость течения реки, $v_{т} = 3$ км/ч

Перевод всех данных в систему СИ:

$S = 400$ м

$v_{л} = 6 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 6 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{5}{3}$ м/с

$v_{т} = 3 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 3 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{5}{6}$ м/с

Для удобства расчетов также переведем ширину реки в километры: $S = 400 \text{ м} = 0.4$ км.

Найти:

$t$ — время переправы

$L$ — расстояние, на которое снесёт лодку по течению

$t_{0}$ — время переправы в неподвижной воде

Решение:

В данной задаче движение лодки является результатом сложения двух скоростей: скорости лодки относительно воды и скорости течения воды. Согласно принципу независимости движений, движение лодки можно разложить на две составляющие: движение поперёк реки и движение вдоль реки.

Сколько времени займёт переправа?

Время переправы определяется шириной реки $S$ и скоростью, направленной перпендикулярно берегам. По условию, гребец всё время удерживает лодку перпендикулярно течению, следовательно, скорость, с которой лодка пересекает реку, равна её скорости относительно воды $v_{л}$.

Время переправы $t$ можно найти по формуле:

$t = \frac{S}{v_{л}}$

Подставим значения в удобных для расчета единицах (километры и км/ч):

$t = \frac{0.4 \text{ км}}{6 \text{ км/ч}} = \frac{4}{60} \text{ ч} = \frac{1}{15}$ ч

Переведем время в минуты для наглядности:

$t = \frac{1}{15} \text{ ч} \cdot 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 4$ мин

Или в секунды, используя СИ:

$t = \frac{400 \text{ м}}{5/3 \text{ м/с}} = \frac{400 \cdot 3}{5} \text{ с} = 240$ с

Ответ: переправа займёт 4 минуты (240 секунд).

На сколько снесёт лодку вниз по течению реки за время переправы?

Снос лодки $L$ происходит из-за течения реки. За время $t$, пока лодка пересекает реку, течение сносит её вниз на расстояние, равное произведению скорости течения $v_{т}$ на время переправы.

$L = v_{т} \cdot t$

Подставим найденное время и скорость течения:

$L = 3 \text{ км/ч} \cdot \frac{1}{15} \text{ ч} = \frac{3}{15} \text{ км} = \frac{1}{5} \text{ км} = 0.2$ км

Переведем в метры:

$L = 0.2 \text{ км} = 200$ м

Ответ: лодку снесёт на 200 метров вниз по течению.

Сколько времени заняла бы эта переправа в неподвижной воде?

В неподвижной воде скорость течения равна нулю ($v_{т} = 0$). Время переправы $t_{0}$ по-прежнему зависит только от ширины реки и скорости лодки, направленной перпендикулярно берегу. Так как гребец направляет лодку перпендикулярно, его скорость пересечения реки равна $v_{л}$, как и в случае с течением.

Следовательно, время переправы не изменится.

$t_{0} = \frac{S}{v_{л}} = \frac{0.4 \text{ км}}{6 \text{ км/ч}} = \frac{1}{15} \text{ ч} = 4$ мин

Ответ: в неподвижной воде переправа заняла бы то же самое время – 4 минуты.